高校数学・場合の数（順列・組合せ）

組合せ

♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「組合せ」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです．
♫♣ ただし，学習の記録は付いていません．

【単元の目次】《数学Ⅰ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式

【目次】 • 積の法則 • 和の法則 • 場合分けのまとめ方
• 樹形図・辞書式配列 • 階乗 • 順列 • 重複順列
• 隣り合う並べ方 • 両端指定,整数の順列
• 円順列，じゅず順列 • 組合せ • 組合せ（練習問題）
• 組合せ（文章題） • 組み分け
• 同じものがあるときの順列 • 順路 • 番号札のもらい方 • 重複組合せ • 重複組合せ（文章題）
• 約数の個数・総和 • 二項定理・多項定理
• 順列，組合せ，確率（共通,センター問題）

組合せ
《解説》
■　並べ方を区別するのが「順列」で，並べ方を区別しないのが「組合せ」です.
■　異なる５個のくだものから，異なる３個のくだものを選ぶ（選ぶだけで並べない）組合せは，次のように，順列から逆算すると分かります.

から3個とって並べる方法

■　３個選んで並べる方法は，₅P₃＝５・４・３通り

■　他方，この操作を2段階に分けて，まず３個選ぶ方法が，求めるべきｘ通り
　その各々について，３個のものの並べ方は３！通り
　したがって，３個選んで並べる方法はｘ・３！通り
■　以上の２つは等しいはずだから，ｘ・３！＝₅P₃
　ゆえに，ｘ＝₅P₃／３！通り
□　記号
　異なるｎ個のものから，異なるｒ個のものを選ぶ組合せの総数を_ｎＣ_ｒで表します.上の例は，５個のものから３個選ぶ組合せの総数となっているので，₅Ｃ₃＝₅P₃/３！となります.

《要点》
　一般に，異なるｎ個のものから異なるｒ個のものを選ぶ方法は， _ｎＣ_ｒをｘとおくと，
ｘ・ｒ！＝_ｎＰ_ｒとなるので，
ｘ＝_ｎＰ_ｒ／ｒ！となります.

《公式》

■　例
　異なる4個のものから，異なる2個のものを選ぶ組合せの総数は，_４Ｃ_２＝4！／(2!2!)＝6通り・・・(答)
■　重要な例
　どんなｎ（＞1）の値についても，_ｎＣ_０＝1，_ｎＣ_ｎ＝1が成り立ちます.（理由：　_ｎＣ_０＝ｎ！／(ｎ！０！)＝1　また　_ｎＣ_ｎ＝ｎ！／(０！ｎ！)＝1　）

《問題》　次の値に等しいものを，選択肢から選びなさい．
（選択肢をクリック［タップ］すれば，採点結果と解答ボタンが表示されます．何も選ばなければ，表示されません．）

(1) $_4\rm{C}_0$
《選択肢》
1 6 7 8 10
15 35 36 70 252

解答を見る

$_4\rm{C}_0=\frac{4!}{(4-0)!0!}=\frac{24}{24}=1$
→解答を隠す←

(2) $_6\rm{C}_2$
《選択肢》
1 6 7 8 10
15 35 36 70 252

解答を見る

$_6\rm{C}_2=\frac{6!}{(6-2)!2!}=\frac{\overset{6\times 5}{\cancel{6!}}}{\cancel{4!}2!}=15$
→解答を隠す←

(3) $_7\rm{C}_6$
《選択肢》
1 6 7 8 10
15 35 36 70 252

解答を見る

$_7\rm{C}_6=\frac{7!}{(7-6)!6!}=\frac{\overset{7}{\cancel{7!}}}{1!\cancel{6!}}=7$
→解答を隠す←

(4) $_8\rm{C}_4$
《選択肢》
1 6 7 8 10
15 35 36 70 252

解答を見る

$_8\rm{C}_4=\frac{8!}{(8-4)!4!}=\frac{\overset{8\times 7\times 6\times 5}{\cancel{8!}}}{\cancel{4!}4!}=70$
→解答を隠す←

(5) $_9\rm{C}_2$
《選択肢》
1 6 7 8 10
15 35 36 70 252

解答を見る

$_9\rm{C}_2=\frac{9!}{(9-2)!2!}=\frac{\overset{9\times 8}{\cancel{9!}}}{\cancel{7!}2!}=36$
→解答を隠す←

(6) $_7\rm{C}_3$
《選択肢》
1 6 7 8 10
15 35 36 70 252

解答を見る

$_7\rm{C}_3=\frac{7!}{(7-3)!3!}=\frac{\overset{7\times 6\times 5}{\cancel{7!}}}{\cancel{4!}3!}=35$
→解答を隠す←

(7) $_5\rm{C}_2$
《選択肢》
1 2 5 6 8
10 20 30 56 252

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$_5\rm{C}_2=\frac{5!}{(5-2)!2!}=\frac{\overset{5\times 4}{\cancel{5!}}}{\cancel{3!}2!}=10$
→解答を隠す←

(8) $_8\rm{C}_1$
《選択肢》
1 2 5 6 8
10 20 30 56 252

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$_8\rm{C}_1=\frac{8!}{(8-1)!1!}=\frac{\overset{8}{\cancel{8!}}}{\cancel{7!}1!}=8$
→解答を隠す←

(9) $_6\rm{C}_5$
《選択肢》
1 2 5 6 8
10 20 30 56 252

解答を見る

$_6\rm{C}_5=\frac{6!}{(6-5)!5!}=\frac{\overset{6}{\cancel{6!}}}{1!\cancel{5!}}=6$
→解答を隠す←

(10) $_{10}\rm{C}_5$
《選択肢》
1 2 5 6 8
10 20 30 56 252

解答を見る

$_{10}\rm{C}_5=\frac{10!}{(10-5)!1!}=\frac{\overset{10\times 9\times 8\times 7\times 6}{\cancel{10!}}}{\cancel{5!}5!}=252$
→解答を隠す←

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