♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「両端指定,整数の順列」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです．
♫♣ ただし，学習の記録は付いていません．

【単元の目次】 《数学Ⅰ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式

【目次】 • 積の法則 • 和の法則 • 場合分けのまとめ方
• 樹形図・辞書式配列 • 階乗 • 順列 • 重複順列
• 隣り合う並べ方 • 両端指定,整数の順列
• 円順列，じゅず順列 • 組合せ • 組合せ（練習問題）
• 組合せ（文章題） • 組み分け
• 同じものがあるときの順列 • 順路 • 番号札のもらい方 • 重複組合せ • 重複組合せ（文章題）
• 約数の個数・総和 • 二項定理・多項定理
• 順列，組合せ，確率（共通,センター問題）

両端指定，整数の順列 ---両端が男子である並び方--- 例1 　男子３人，女子２人の合計５人が１列に並ぶとき，両端が男子であるような並び方は何通りあるか. ＜考え方＞ 　両端に制限がついているときは，はじめに両端から並べると考えやすくなります. (1) 　左端に並ぶ人は男子でなければならないので，左端には男子３人のうち誰かを入れます. ３通り (2) 　左端が決まると，男子は1人減って２人になっています.この２人のうちから右端に入る人を決める方法は ２通り (3)(4)(5) 　残りは，男子１人，女子２人の小計３人です.これら３人を真ん中に並べる方法は ３！通り 以上より，３・２・３！＝36通り・・・(答) ■ (1)(2)は3Ｐ2と書くこともできます. 3Ｐ2・３！＝36通り　という答案になります. ■ 　男子は３人いるので，そのうち1人は中に来ます.この問題では，「両端が男子である」ことはできますが，「男子は両端に来る」ことはできません.	《要点》 両端が男子である・・・ →　両端を先に並べる
---３けたの整数，４桁の電話番号--- 例２ ０，１，２，３の４個の数字のうち３個を使って３桁の整数は何通りできるか. ＜考え方＞ 　通常の約束として，最高位の数が０のものは３桁の整数とは言いません. 　例　０１４＝１４は２桁の整数 　３桁の整数を作るためには，最高位は０以外でなければなりません. 　最高位の入れ方は，０以外で 3通り 上で使った1つを除いて，次の位の数を決める.このときは０も使えるので ３通り 一の位は，残り ２通り 結局，３・３・２＝18通り・・・(答) ＜裏の裏＞４桁の電話番号 　通常の約束として，電話番号では最高位の数が０でも４桁などといいます.（０というダイヤル（ボタン）を押す「操作」は他の数と同じ） 　そこで，０１２４という番号は４桁の電話番号です.特に，００００は電話局の相談窓口だそうです.	《要点》 ３桁の整数 →　最高位は0以外 ４桁の電話番号 →　最高位は何でもよい
---偶数，5の倍数，3の倍数--- 例３ １，２，３，４，５，６の６つの数字から異なる４つを選び出して並べ，４桁の整数を作るとき， (1)　偶数は何通りできるか. (2)　５の倍数は何通りできるか. (3)　３の倍数は何通りできるか. ＜考え方＞ (1)　１の位の数は２，４，６ ３通り 　その各々について，残りの桁の決め方は ５・４・３＝60通り 　ゆえに，180通り・・・（答） (2)　1の位の数は５ 1通り その各々について，残りの桁の決め方は ５・４・３＝60通り 　ゆえに，60通り・・・（答） (3) 　１，２，３，４，５，６から４個選んで和が３の倍数となる組合せは ア)　１，２，３，６・・・和は12 イ)　１，２，４，５・・・和は12 ウ)　１，３，５，６・・・和は15 エ)　２，３，４，６・・・和は15 オ)　３，４，５，６・・・和は18 の5通り その各々について，並べ方は ４！通り ゆえに，５・４！＝120通り・・・(答)	《要点》 偶数 →　１の位が偶数 ５の倍数 →　1の位が０，５ ３の倍数 →　各位の数字の和が３の倍数

《問題》 選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください． ≪1≫ 　大人３人，子供４人の合計７人が1列に並ぶとき，両端に大人が来る並び方は何通りあるか. 22 24 36 40 72 128 156 480 648 720 2160 2400 5040 解説 両端の決め方は３・２通り その各々について，内部の決め方は5！通り 3×2×5!=6×120=720 …（答）	≪2≫ 　ｓｍｉｌｅの５文字を１列に並べるとき，両端が子音字となる並べ方は何通りあるか. 22 24 36 40 72 128 156 480 648 720 2160 2400 5040 解説 母音字とは・・・ａ，ｉ，ｕ，ｅ，ｏ(この問題では，ｉ，ｅ) 子音字とは・・・ｂ，ｃ，ｄ，ｆ，ｇなど(この問題では，ｓ，ｍ，ｌ) 両端の子音字の並べ方が3×2通り その各々について，中の3文字の並べ方が3!通り 3×2×3!=36 …（答）
≪3≫ 　０，１，２，３，４，５，６の７個の数字から相異なる４個を使ってできる，４桁の整数は何通りできるか. 22 24 36 40 72 128 156 480 648 720 2160 2400 5040 解説 最高位の決め方は，０以外の６通り その各々について，他の位の数の決め方は６・５・４通り 6×6×5×4=720 …（答）	≪4≫ 　３桁の整数のうち，各位の数が相異なるものは何通りあるか. 22 24 36 40 72 128 156 480 648 720 2160 2400 5040 解説 百の位は９通り（←「3桁の整数」は最高位が０以外） その各々について，下２桁の決め方は，９・８通り 9×9×8=648 …（答）
≪5≫ 　４桁の電話番号のうち各位の数が相異なるものは，何通りあるか. 22 24 36 40 72 128 156 480 648 720 2160 2400 5040 解説 電話番号は，先頭の数が０でもよい 最高位の数の決め方は10通り その各々について，2番目の数の決め方は9通り（←先頭で使った数以外） その各々について，3番目の数の決め方は8通り（←前の２つで使った数以外） その各々について，4番目の数の決め方は7通り（←前の3つで使った数以外） 10×9×8×7=5040 …（答）	≪6≫ 　１，２，３，４，５の５個の数字を全部使って５桁の整数を作るとき奇数は何通りできるか. 22 24 36 40 72 128 156 480 648 720 2160 2400 5040 解説 １の位の決め方は１，３，５の３通り（←制限の強い所を先に決めると場合分けが簡単になる） その各々について，他の位の決め方は４！通り 3×4!=72 …（答）
≪7≫ 　１，２，３，４，５の５つの数字から相異なる3つの数字を使って３桁の整数を作るとき，３の倍数は何通りできるか. 22 24 36 40 72 128 156 480 648 720 2160 2400 5040 解説 ３の倍数となる組合せは、 {１，２，３}　{１，３，５}　{２，３，４}　{３，４，５}　の４通り その各々について並べ方は3！通り 4×3!=24 …（答）	≪8≫ 　０，１，２，３，４，５の６つの数字から相異なる４つを並べてできる４桁の偶数は何通りあるか. 22 24 36 40 72 128 156 480 648 720 2160 2400 5040 解説 (ア）１の位が０の場合： 　１の位の決め方は1通り 　その各々について，他の桁の決め方は５・４・３通り (イ)１の位が２，４の場合： 　1の位の決め方は２通り その各々について，他の位の決め方は４・４・３通り (ア)+(イ) 60+2×48=156 …（答）
≪9≫ 　０，１，２，３，４，５の６つの数字から相異なる３つの数字を取り出して，３桁の整数を作るとき，３の倍数は何通りできるか. 22 24 36 40 72 128 156 480 648 720 2160 2400 5040 解説 ３の倍数となる組合せは， (ア)０を含むもの 　｛０，１，２｝　｛０，１，５｝　｛０，２，４｝　｛０，４，５｝の４通り その各々について，並べ方は２・２・１通り (イ)０を含まないもの 　｛１，２，３｝　｛１，３，５｝　｛２，３，４｝　｛３，４，５｝の４通り その各々について，並べ方は３！通り (ア)+(イ) 4×4+4×3!=40 …（答）