♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「同じものがあるときの順列」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです． ♫♣ ただし，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 【目次】 • 積の法則 • 和の法則 • 場合分けのまとめ方 • 樹形図・辞書式配列 • 階乗 • 順列 • 重複順列 • 隣り合う並べ方 • 両端指定,整数の順列 • 円順列，じゅず順列 • 組合せ • 組合せ（練習問題） • 組合せ（文章題） • 組み分け • 同じものがあるときの順列 • 順路 • 番号札のもらい方 • 重複組合せ • 重複組合せ（文章題） • 約数の個数・総和 • 二項定理・多項定理 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） == 同じものがあるときの順列 == ■解説 《要約》 ○　同じもの a が p 個，b が q 個，合計 p+q 個あるとき，これらを全部使って1列に並べる順列の総数は 通り ○　同じもの a が p 個，b が q 個，c が r 個，… ，合計 n 個あるとき，これらを全部使って1列に並べる順列の総数は 通り ※　この公式は，全部使う場合の順列の総数を表わしており，その一部分だけを使う場合の順列の総数を求めるには，それぞれの構成に応じて場合分けして求める必要がある． （解説） 　例えば，すべて異なる 5 個の文字 a1a2a3b1b2 を１列に並べる順列の総数は 5P5=5!=120 通りとなるが， 　それらの中には次のようなものがある． a1a2b1a3b2　　a1a3b1a2b2 a2a1b1a3b2　　a2a3b1a1b2 a3a1b1a2b2　　a3a2b1a1b2 　これらは，an が異なるものとして区別し，お互いの位置だけを交換して得られたもので，もし a が同じものなら，これらは１つの順列となる．したがって，a を区別したときは，a が同じものであるときと比較して，それらの内部交換だけで 3! 倍多くなっている． 　さらに， bn を異なるものとして区別し，お互いの位置だけを交換したとき，上の順列は 2! 倍多くなる． a1a2b1a3b2　　a1a3b1a2b2 a2a1b1a3b2　　a2a3b1a1b2 a3a1b1a2b2　　a3a2b1a1b2 a1a2b2a3b1　　a1a3b2a2b1 a2a1b2a3b1　　a2a3b2a1b1 a3a1b2a2b1　　a3a2b2a1b1 　したがって，同じもの a が 3 個，b が 2 個，合計 5 個あるとき，これらを全部使って1列に並べる順列の総数は 通り になる． 　これを一般化すると，同じもの a が p 個，b が q 個，合計 p+q 個あるとき，これらを全部使って1列に並べる順列の総数は 通り となって，上の公式が得られる． 　３種類以上の文字から成るときも同様．

例１ 　a が４個，b が３個，合計７個の文字があるとき，これら全部を１列に並べてできる順列の総数は =35 例２ 　a が４個，b が３個，c が２個，合計９個の文字があるとき，これらを全部を１列に並べてできる順列の総数は =1260 例３ 　a が３個，b が２個，c が１個，合計６個の文字があるとき，これらのうち３個を使ってできる順列の総数は （ア）a を３個使うとき __________aaa の並べ方 → 1通り （イ）a を２個使うとき __________aab の並べ方 → =3通り __________aac の並べ方 → =3通り （ウ）a を１個使うとき __________abb の並べ方 → =3通り __________abc の並べ方 → 3!=6 通り （エ）a を使わないとき __________bbc の並べ方 → =3通り 計 19 通り ■参考：組合せを用いる解説■ 　同じものがあるときの順列の総数は組合せは nCr を用いて解説されることが多いので，これらの関係を示す． 　aabbb のように同じものを2個と3個含む文字列を並べ替えてできる順列の総数は， 通り であるが，それぞれにおいて a の場所さえ決めれば残りの場所は b に決まる． 　例えば abbab では a の番号を1番と４番の２つに決めれば残り２，３，５番は b になる．したがって，aabbb の並べ替え方は，異なる５個の番号札から a の行き先の番号札２個をもらう方法の数 5C2 に等しく，組合せの公式 5C2==10 でも求められる． ※　もちろん，b の行き先の番号札３個をもらう方法の数 5C3 で計算しても同じになる． 5C3==10

《問題》　正しいものを選んでください． 選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください． ≪1≫ 　1,1,1,1,2,2,3 の７個の数字を使ってできる７桁の整数の個数を求めよ． 12 18 20 35 36 38 105 120 180 280 720 840 1440 解説 通り	≪2≫ 　coffee の６個の文字を全部使ってできる順列の総数を求めよ． 12 18 20 35 36 38 105 120 180 280 720 840 1440 解説 c が１個，o が１個，f が２個，e が２個あるから 通り
≪3≫ 　a,a,a,b,b,c の６個の文字を並べ替えてできる順列のうち b が互いに隣り合っているものの総数を求めよ． 12 18 20 35 36 38 105 120 180 280 720 840 1440 解説 a が３個，c が１個，b の組が１個，計５個のものがあると考えると 通り	≪4≫ 　a が３個，b が２個，c が１個，合計６個の文字があるとき，これらのうち４個を使ってできる順列の総数は 12 18 20 35 36 38 105 120 180 280 720 840 1440 解説 （ア）　a を３個使うとき aaab の並べ方 → 通り aaac の並べ方 → 通り （イ）　a を２個使うとき aabb の並べ方 → 通り aabc の並べ方 → 通り （ウ）　a を１個使うとき abbc の並べ方 → 通り （エ）　a が0個ではできない． 以上から，計 38 通り
≪5≫ 　a,b,c,1,2,3,4 の７個の文字を並べ替えてできる順列のうち，314ab2c のように a,b,c はこの順に並んでいるものは何通りあるか． 12 18 20 35 36 38 105 120 180 280 720 840 1440 解説 順序が決められている（並べ替えできない）ものは「同じものがある」のと同様だから同じ文字３個と異なる数字４個があるとみなせばよい．（ a,a,a,1,2,3,4 など） 　これらの並べ方の総数は 通り	≪6≫ 　a,b,c,1,2,3,4 の７個の文字を並べ替えてできる順列のうち，314ab2c のように a,b,c はこの順に並んでおり，さらに，a12b34c のように a,b,c も 1,2,3,4 もこの順に並んでいるものは何通りあるか． 12 18 20 35 36 38 105 120 180 280 720 840 1440 解説 英字３個，数字４個が各々同じとみなせばよい． （ a,a,a,1,1,1,1 など） 　これらの並べ方の総数は 通り