♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「番号札のもらい方」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです． ♫♣ ただし，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 【目次】 • 積の法則 • 和の法則 • 場合分けのまとめ方 • 樹形図・辞書式配列 • 階乗 • 順列 • 重複順列 • 隣り合う並べ方 • 両端指定,整数の順列 • 円順列，じゅず順列 • 組合せ • 組合せ（練習問題） • 組合せ（文章題） • 組み分け • 同じものがあるときの順列 • 順路 • 番号札のもらい方 • 重複組合せ • 重複組合せ（文章題） • 約数の個数・総和 • 二項定理・多項定理 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） == 番号札のもらい方 == 《解説》 ■例1　「同質の赤玉３個，青玉２個を一列に並べる方法は何通りあるか」という問題を組合せで考えてみます.
右上の図のような並べ方は，「並べた玉を動かす」という考え方以外に，「受付で番号札をもらう」という考え方でもできます. 　赤組は玉を３個並べるので，受付で番号札を３枚もらいます.青組は番号札を２枚もらいます.番号札には，座席が書かれていて，1番の番号札をもらえば1番のところに並べる，2番の番号札をもらえば2番のところに並べる・・・というように決めます. 　下の図は，赤組が１，３，４の番号札，青組が２，５の番号札をもらったようすを表しています.このとき，玉の並べ方はちょうど上の図のようになります. 　結局，同質の赤球３個，青玉２個を一列に並べる方法は，1から５までの番号札のうち赤が行き先の番号札３枚をもらえば決まります.（青の行き先は残り２か所で，これは赤が決まれば自動的に決まります.） 　だから5Ｃ3＝10通りです.・・・（答） 　青の行き先を先に決めても同じことになります：1から5までの番号札から青の行き先の番号札２枚をもらう方法は ５Ｃ２＝10通りです. （このとき赤の行き先は，残りの３か所です.）
このように，「並べ方の問題」なのに「組合せ」で解けるのは，番号札の組合せが並べ方を表しているからです. ■例２　「同質の赤球３個，青玉２個，黒玉２個を一列に並べる方法は何通りありますか」

右の図は，1から7までの番号札のうち，赤組が５，３，４を，青組が２，６を，黒組が７，１をもらったようすを表しています.このときの並べ方は，下の図のようになります. 　このように考えると，問題の並べ方は，1から７の７枚の番号札のうち，赤の行き先を３枚、残りから青の行き先を２枚，（その残りは黒の行き先）というように番号札をもらう方法に等しいので， 7Ｃ3・4Ｃ2・2Ｃ2＝210通り・・・（答） （2Ｃ2は1です.書いても書かなくてもよろしい.）

●●●●●●●

■例３　「10円硬貨を6回投げるとき，表が３回出るのは何通りありますか」
右の図において，一番上の図は，1から6の番号札のうち表組が１，２，３の３枚の番号札をもらった場合を表しています. ・・・・・・・ 　一番下の図は，表組が４，５，６の３枚の番号札をもらった場合を表しています. 1から6までの6枚の番号札のうち，表の行き先の番号札３枚をもらう方法は 6Ｃ3＝20通り・・・（答）	で1通り， で1通り， で1通り， で1通り， ・・・・・・・・ ・・・・・・・・ で1通り， のように数えます.

■例4　「次図のような街路があるとき，Ａ地点からＢ地点へ最短経路で行く方法は何通りありますか」

同じものがあるときの順列で考える方法もありますが，組合せでは次のように考えることができます. 　下の図で，北へ進むことをｎで，東へ進むことをeで表すと，青色の順路はnneenee，茶色の順路はｅｎｅｅｎｅｎとなります. 　どの順路もｎが３個，ｅが４個あります.青色の順路はｎが１，２，５の番号札をもらった場合に対応します.茶色の順路は，ｎが２，５，７の番号札をもらった場合に対応します. 　このように，1から7番のうちでｎの現れる番号を３枚もらえば順路が決まります. 　7Ｃ3＝35通り・・・（答）

《問題》 暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください． • 選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます． • 見ているだけでは，採点結果も解説も出ません． ≪1≫ 　ａが４個，ｂが３個あるとき，これらを並べ替えてできる順列の総数を求めなさい. 6 10 15 26 32 35 60 70 126 210 280 420 解説 行き先の番号札1～7のうちでaの行き先の番号札を４枚もらえば並び方が決まるから7C4=35通り （bの行き先の番号札を３枚もらう方法と考えても同じ7C3=35通り）	≪2≫ 　白玉2個，赤玉３個，青玉１個を一列に並べる方法は何通りありますか. 6 10 15 26 32 35 60 70 126 210 280 420 解説 行き先の番号札1～6のうちから白玉の行き先の番号札を２枚もらう方法は6C2=15通り 残り４枚のうちから赤玉の行き先の番号札を３枚もらう方法は4C3=4通り 残り１枚は青玉の行き先の番号札になる1C1=1通り 積の法則により15×4×1=60通り
≪3≫ 　10円硬貨を10回投げるとき，表が４回出る場合は何通りありますか. 6 10 15 26 32 35 60 70 126 210 280 420 解説 表の出る番号札を４枚もらえば出方が決まるから10C4=210通り	≪4≫ 　５枚の硬貨を投げるとき，2枚以上表が出る場合は何通りありますか. 6 10 15 26 32 35 60 70 126 210 280 420 解説 表裏の出方の総数は25=32通り そのうち全部裏となるのが1通り 表が１枚出るのは、５枚の番号札の中から表の出る番号を１枚もらう方法に等しく5C1=5通り 32−(1+5)=26通り

≪5≫ 　右図のような街路があるとき，Ａ地点からＢ地点へ行く最短経路は何通りありますか. 6 10 15 26 32 35 60 70 126 210 280 420 解説 縦横に進む順番1～9のうちで横に進む番号札を４枚もらえば進み方が決まるから9C4=126通り （縦に進む番号札を５枚もらう方法と考えても同じ9C5=126通り）	≪6≫ 　赤玉４個，白玉３個を白玉同士が隣り合わないように一列に並べる方法は何通りありますか. 6 10 15 26 32 35 60 70 126 210 280 420 解説 赤玉を並べておき、その両端を含む５個の隙間に番号札１～５置いておく。これら５枚の番号札のうち白玉の行先となる番号札を３枚もらってくれば、白玉が隣り合わない並べ方になるから5C3=10通り
≪7≫ 　赤玉４個，白玉３個，青玉２個の合計９個の玉を一列に並べるとき，青玉が隣り合う並べ方は何通りありますか. 6 10 15 26 32 35 60 70 126 210 280 420 解説 赤玉４個、白玉３個、青玉１セットの計８個のものを並べる。 赤玉の行先は8C4=70通り 白玉の行先は4C3=4通り （青セットは残り） 積の法則により70×4×1=280通り	≪8≫ 　ａ，ａ，ａ，ｂ，ｂ，ｃの６文字のカードを机の上に円形に並べる方法は何通りありますか. 6 10 15 26 32 35 60 70 126 210 280 420 解説 １列に並べるときは6C3×3C2×1C1=60通り 円順列だから60÷6=10通り