高校数学・場合の数（順列・組合せ）

重複組合せ

♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「重複組合せ」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです．
♫♣ ただし，学習の記録は付いていません．

【単元の目次】《数学Ⅰ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式

【目次】 • 積の法則 • 和の法則 • 場合分けのまとめ方
• 樹形図・辞書式配列 • 階乗 • 順列 • 重複順列
• 隣り合う並べ方 • 両端指定,整数の順列
• 円順列，じゅず順列 • 組合せ • 組合せ（練習問題）
• 組合せ（文章題） • 組み分け
• 同じものがあるときの順列 • 順路 • 番号札のもらい方 • 重複組合せ • 重複組合せ（文章題）
• 約数の個数・総和 • 二項定理・多項定理
• 順列，組合せ，確率（共通,センター問題）

■重複組合せ《解説》

※順序が違えば別物として数えるのが「順列」，順序だけ違うものは同じものして数えるのが「組合せ」
【例】
異なる2つのものａ，ｂから重複を許して3つとる方法

重複組合せ		重複順列
{a,a,a} {a,a,b} {a,b,b} {b,b,b} 計４通り	←→ ←→ ←→ ←→	(a,a,a)　　　　　　　1通り (a,a,b),(a,b,a),(b,a,a)　３通り (a,b,b),(b,a,b),(b,b,a)　３通り (b,b,b)　　　　　　　１通り計８通り

○ 重複組合せの記号

　異なるｎ個のものから重複を許してｒ個とってくる組合せの総数を

nHr

で表します.

（注意）
※異なるものが何個（ｎ）あって，それらから何個（ｒ）取ってくるのか，どちらがｎでどちらがｒかを「慎重に」見極めることが大切

≪表１≫
A	3	2	1	0
B	0	1	2	3

　例えば，２人の人A,Bに同質のお菓子3個を分ける方法の数を数えたいものとする．ただし，どちらかが１つももらわない場合や全部もらってしまう分け方も許されるものとする．
===> いずれも≪表１≫のように４通りになる．

≪表２≫
{A,A,A} {A,A,B} {A,B,B} {B,B,B}

　これは，異なる２人の名前を重複を許して3回呼ぶ場合の数に等しい．（名前が呼ばれたらお菓子がもらえると考える）
===> ≪表２≫のように４通りになる．
※これらは
「異なる２つのものから重複を許して３個取って来る」場合の総数となっており，
「異なる３つのものから重複を許して２個取って来る」場合の総数

≪表３≫
A	2	1	1	0	0	0
B	0	1	0	2	1	0
C	0	0	1	0	1	2

≪表４≫
{A,A} , {A,B} , {A,C} , {B,B} , {B,C} , {C,C}

とは違う．

○ 重複組合せnHrの公式を作るには

1. 重複順列の総数から割り算で求めることはできない

　▼まず思いつくのは，順列と組合せの対応ですが

　順列　_ｎＰ_ｒ÷ｒ！　→　組合せ_ｎＣ_ｒ
　のように，順列をｒ！で割ると組合せになりますが，重複順列_ｎΠ_ｒと重複組合せ_ｎＨ_ｒの関係は単純ではありません.
　これは，上の例のように重複組合せの中身ごとに並べ方の総数が変わり，倍率が一定のｒ！にならないからです.

【例】
異なる2つのものａ，ｂから重複を許して3つとる方法

重複組合せ		重複順列
{a,a,a} {a,a,b} {a,b,b} {b,b,b} 計４通り	←→ ←→ ←→ ←→	(a,a,a)　　　　　　　1通り (a,a,b),(a,b,a),(b,a,a)　３通り (a,b,b),(b,a,b),(b,b,a)　３通り (b,b,b)　　　　　　　１通り計８通り

　そこで，重複順列から逆算して重複組合せを求めるという方針を推し進めても公式は得られません.

2. 具体例で考える

【例】
　４人の子供に重複を許して５個の同質のボールを分け与える方法

　４人の子供を区別するために，右図のように縦棒|を３個置きます．

　右図のｂのように，仕切り棒が隣り合う場合は0個を表すものとします．

　このようにすれば，○５個，｜３個同じものがあるときの順列の総数が求める数値となります.

例　ａ=2,b=0,c=2,d=1となる分け方

（縦棒の両側は各々ａ君，ｄ君のボールです.- - このように，両端を含む４か所を区別するときは，(植木算で！)仕切り棒は4-1＝３本です.）

→右上に続く

　《公式にする方法》
　上の答は $\frac{8!}{5!3!}=56$ ですが，しばしば登場するものに，毎回図を書くのは大変なので，通常_ｎＣ_ｒへの読み替え公式を利用します.

　５はボールの数（ｒ）です.３は子供の数（ｎ）-1です.
したがって，この結果は $\frac{(n+ r-1)!}{(n-1)!r!}$ と表すことができます.
　ところで，分母に登場する２つの数ｎ－１とｒの和が分子ｎ＋ｒ－１に等しいような式は，いつでもＣに直すことができます.
【例】

$\frac{8!}{5!3!}=_8\rm{C}_3,\hspace{10}\frac{7!}{3!4!}=_7\rm{C}_4$
$\frac{(a+ b)!}{a!b!}=_{a+ b}C _b$ ， $\frac{(n+ 1)!}{(n+ 1-p)!p!}=_{n+ 1}C _p$

　そこで， $\frac{(n+ r-1)!}{(n-1)!r!}=_{n+ r-1}\rm{C}_r$ となります.

3. 公式ができた

《ＨをＣに直す公式》
_ｎＨ_ｒ＝_n+r-1C_ｒ

_{(-1は植木算になるから)}

⇒　この公式を使って，Ｈが登場したら機械的にＣに直してから数字にする．

≪植木算：ｎ－１になる理由をしっかり覚えよう！≫

○ 例題と解答

【例1】
　次の値を求めなさい.　　4H5

　（答案） 4H5=4+5−1C5=8C5= $\frac{8!}{3!5!}$ =56・・・（答） ※「５個の同質のボールを４人の子供に分ける方法（１つももらえない子供がいるいる場合も含む）」に対応
※「異なる４個のものから重複を許して５個とってくる組合せの総数」と書くと，上記とgiveとtakeが逆に見えますが，まったく同じです.
※「４人の子供の名前を５回呼ぶ方法としても同じ（重複を許してかつ１度も呼ばれない子供がいる場合も含む）」

【例2】
　次の値を求めなさい.　　5H3

　（答案） 5H3=5+3−1C3=7C3= $\frac{7!}{3!4!}$ =35・・・（答） ※「５人の子供に３個の同質のお菓子を分ける方法（１つももらえない子供がいるいる場合，全部もらってしまう子供がいる場合も含む）」
※「３個の同質のお菓子を５人の子供に分ける方法（１つももらえない子供がいるいる場合，全部もらってしまう子供がいる場合も含む）」

（参考）

○ 重複組合せではｎよりもｒの方が大きいことがある

※順列の総数nPrや組合せの総数nCrでは，とってくるものの数rはn以下でなければなりませんが，重複順列や重複組合せでは，同じものを何回使ってもよいので，重複順列の総数nΠrや重複組合せの総数nHrにおいてはrがnよりも大きい場合があります．

≪ありえない≫
3P4
2C5

≪ありえる≫
3Π4=34=81
2H5=6C5=6

○ 重複組合せの記号には，なぜH を使うのか

　次数（掛けてある文字の数）が等しい多項式を「同次多項式」「斉次多項式」という（Homogeneous polynomial）．重複組合せは，同次多項式の異なる項の数として登場するので，このＨを記号にしたもの．

上の【例】では２つの文字で作られる３次式が何通りあるかを示しています．
(a+b)3を展開してできる同次式の総数は
=aaa+aab+aba+baa+abb+bab+bba+bbb

順序を区別すれば，項の数は「重複順列」
23=8通りになる

=a3+3a2b+3ab2+b3

文字の部分が同じものを同類項として整理すれば，文字の組合わせはa3 , a2b , ab2 ,b3で2H3=4種類になる

《問題》　次の値に等しいものを，選択肢から選びなさい．
（選択肢をクリック［タップ］すれば，採点結果と解答ボタンが表示されます．何も選ばなければ，表示されません．）