♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「積の法則」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです． ♫♣ ただし，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 【目次】 • 積の法則 • 和の法則 • 場合分けのまとめ方 • 樹形図・辞書式配列 • 階乗 • 順列 • 重複順列 • 隣り合う並べ方 • 両端指定,整数の順列 • 円順列，じゅず順列 • 組合せ • 組合せ（練習問題） • 組合せ（文章題） • 組み分け • 同じものがあるときの順列 • 順路 • 番号札のもらい方 • 重複組合せ • 重複組合せ（文章題） • 約数の個数・総和 • 二項定理・多項定理 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） ■積の法則 　右図１のように、P地点からQ地点に行く道が3通りあって、「その各々について」Q地点からR地点に行く道が2通りあるとき、P地点からQ地点を通ってR地点に行く道は 3×2＝6（通り） になります。 　一般に、次の法則が成り立ちます。 （積の法則） 　Aの起こり方がm通り、その各々についてBの起こり方がn通りあるとき、AもBも起こる場合の数は m×n通りになります。 ■積の法則を使うかどうかの見分け方■ 「各々何通り」あるときに、「AかつBが起こる」場合の数を求めるのは「積の法則」 【例1】 　りんご、かき、みかんが各1個、計3個あるとき、この中から2個選んで前後1列に並べる方法は何通りありますか。 （解答） 　前に置く果物は、りんご、かき、みかんのどれでもよいから3通り。 　その各々について、（残りは2個になっているから）後に置く果物の選び方は2通り。 積の法則により，3×2＝6通り･･･（答） 【例2】 　2桁の正の整数のうちで、十の位の数が奇数で、一の位の数が偶数となる数は何通りありますか。 （解答） 　十の位の数の決め方は、1,3,5,7,9の5通り 　その各々について、一の位の数の決め方が、0,2,4,6,8の5通りあるから 5×5＝25通り･･･（答）	図１ 【例3】 　赤、青、黄、緑、茶色の5色のうち異なる4色を使って、次の図のア～エを塗る方法は何通りありますか。 （解答） 　アの塗り方は5通り 　その各々についてイの塗り方は（アで使った色以外の）4通り 　その各々についてウの塗り方は（ア、イで使った色以外の）3通り 　その各々についてエの塗り方は（ア、イ、ウで使った色以外の）2通り 積の法則により、 5×4×3×2=120通り･･･（答） ※アから順に塗らなくても、エなどから塗っても同じことになります。 【例4】 　18(=2×32)の正の約数は何個ありますか。（1と18自身も含めて数えるものとします。） × 30=1 31=3 32=9 20=1 1 3 9 21=2 2 6 18 （解答） 　18の正の約数は2○×3□の形に書けます。 　○には0,1の2通りの入れ方があり、その各々について□には0,1,2の3通りの入れ方があります。（20=1,30=1です） （2○×3□の形の積は右の表の通り） 2×3=6個･･･（答） （指数法則の項目で学びますが、20=1,30=1です。ただし、0乗が分からなくても表の意味は分かると思います。）
問題１次の立方体ABCD-EFGHにおいて，頂点AからGへ遠回りをせずに辺をたどっていく方法は何通りありますか．（図の赤線はそのうちの１つの例です） 通り 採点する やり直す HELP 　Aから進む方法はA→B, A→D, A→Eの３通り 　その各々について次の進む方が２通り 　その各々についてGに進む方法が１通りだから 積の法則により，AからGへ進む方法は３×２×１=６通り	問題２次の式を展開したとき，何個の項ができますか． (a+b+c)(s+t)(x+y+z+w) 個 採点する やり直す HELP 　展開とは「代表選手の選び方」だと考えるとよくわかります． 　例えば，次の図のように左の（　）から１つの項bを，中央の（　）から１つの項sを，右の（　）から１つの項wを選んで組み合わせるとbswができます．１つの（　）からは「代表選手は１つだけ」えらぶことができ，abなどという項はできません． 　左の（　）から代表選手を選ぶ方法は３通り，その各々について中央の（　）から代表選手を選ぶ方法は２通り，その各々について右の（　）から代表選手を選ぶ方法が４通りあるから 　積の法則により，３つの（　）から代表選手を選ぶ方法は３×２×４=24通り
問題３２桁の偶数は何個ありますか．（例えば10, 24は２桁の偶数ですが04は最高位の数が0なので，２桁ではなく１桁と考えます．） 個 採点する やり直す HELP 　10の位の選び方は1から9までの9通り（0はダメ） 　偶数だから，その各々について1の位の選び方は0, 2, 4, 6, 8の５通り 　積の法則により，9×5=45通り （２桁の整数は10から99まで，99−10+1=90個［両端を含める植木算になるので+1］ありますが，そのうちの半分が偶数です．）	問題４720の正の約数は何個ありますか． 個 採点する やり直す HELP 720=24×32×5の約数は 2x×3y×5z(x=0,1,2,3,4; y=0,1,2; z=0,1) の形に表せる数になります． 　例えば，22×31×51=60 指数（肩に付いている数）が0となる場合については数Ａではまだ習いませんが数IIで習うように1を表します． 20=1, 30=1, 50=1 いずれも0ではありませんので注意 ・20×30×50=1 ・21×30×50=2 ・22×31×50=12 … ・24×32×51=720 　そこで，２の指数xの選び方が5通り，その各々について３の指数yの選び方が3通り，その々について５の指数zの選び方が2通り 　積の法則により，５×３×２=30通り 一般に，p,q,rが素数，a,b,cが0以上の整数であるとき pa×qb×rc の正の約数の個数は（各々の指数が0となる場合を数えると＋１個ずつとなるので） (a+1)(b+1)(c+1)個 となります． （簡単な受験問題としてよく出る問題です．）
問題５108の正の約数は何個ありますか． 個 採点する やり直す HELP 　108=22×33の約数は 2x×3y(x=0,1,2; y=0,1,2,3;) の形に表せる数になります． 　(2+1)×(3+1)=12個 20×30=1, 20×31=3, 20×32=9, 20×33=27 21×30=2, 21×31=6, 21×32=18, 21×33=54 22×30=4, 22×31=12, 22×32=36, 22×33=108	問題６72の正の約数の総和は幾らになりますか． 採点する やり直す HELP 72=23×32の約数は 2x×3y(x=0,1,2,3; y=0,1,2;) の形に表せます． 次に (23+22+21+20)(32+31+30) の形の式を展開すると2x×3y(x=0,1,2,3; y=0,1,2;)の形の数が１回ずつ登場しますので，この展開式（の和）を求めると求める約数の和となります． (23+22+21+20)(32+31+30) =(8+4+2+1)(9+3+1)=15×13=195 （簡単な受験問題としてよく出る問題ですが，自分ではなかなか思いつかないかもしれません．覚えていたらでき，覚えていないとできないので，受験勉強の量を測るには適しているかもしれませんが質を図るには不向きな問題かもしれません．）
問題７9138のように各位の数がすべて異なる４桁の正の整数は何個ありますか． 個 採点する やり直す HELP 　千の位は０以外だから9通り 　その各々について，百の位は千の位に使われた数字を除いてたもの（ただし千の位以外は０もよい）だから９通り 　その各々について，十の位は千の位と百の位に使われた数字を除いたものだから８通り 　その各々について，一の位は千の位，百の位，十の位に使われた数字を除いたものだから７通り 　積の法則により，9×9×8×7=4536個	問題８４桁の電話番号や暗証番号というときには最高位の数として０が使われることも許されます．４桁の電話番号で各位の数がすべて異なるもので全体で奇数を表しているものは何通りありますか． 通り 採点する やり直す HELP 　千の位から順に埋めなければならないことはなく，どの位の数から埋めても構いません．このような問題では「条件の厳しい」位から埋めると場合分けが少なくて済みます． 　一の位は，1,3,5,7,9の５通り 　その各々について，千の位の埋め方は一の位に使われたものを除いて（この場合は０も許して）９通り 　その各々について，百の位の埋め方は，一の位と千の位に使われたものを除いて（０も許して）８通り 　その各々について，十の位の埋め方は，一の位，千の位，百の位に使われたものを除いて（０も許して）７通り 　積の法則により，9×8×7×5=2520通り