♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「重複組合せ(文章題)」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです． ♫♣ ただし，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 【目次】 • 積の法則 • 和の法則 • 場合分けのまとめ方 • 樹形図・辞書式配列 • 階乗 • 順列 • 重複順列 • 隣り合う並べ方 • 両端指定,整数の順列 • 円順列，じゅず順列 • 組合せ • 組合せ（練習問題） • 組合せ（文章題） • 組み分け • 同じものがあるときの順列 • 順路 • 番号札のもらい方 • 重複組合せ • 重複組合せ（文章題） • 約数の個数・総和 • 二項定理・多項定理 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題）

重複組合せ（文章題） ■重複組合せ ≪要点≫ 　異なるn個のものから重複を許してr個取ってできる組合せの総数は ○重複組合せの数を求めるには，上記の公式を使って組合せの数に直して計算します． ○重複組合せnHrにおいては，rがnよりも大きい場合もありえます．また，結果として得られる組の中では，n個のもののうち何度も使われている場合や１回も使われていない場合もあります． 【例１】 　異なる2個のものから重複を許して3個取ってできる組合せの総数を求めよ． （解答）

【例２】 　a+b+c=5 (a, b, c≧0)を満たす整数解(a, b, c)の組は何通りありますか． （解答） 　異なる３つのものa, b, cから名前を重複を許して５個取って来る組合せの総数と考えればよいから 【例３】 　a+b+c=10を満たす整数解(a, b, c)の組のうちで，a≧1, b≧2, c≧3となるものは何通りありますか． （解答） 　１０個の玉を分ける問題と考えて，はじめからaには1個，bには2個，cには3個入れておく． 　a'=a−1，b'=b−2，c'=c−3とおくと 　a'+b'+c'=4 (a', b', c'≧0)を満たす整数解(a', b', c')の組を求めるとよい． (a−1)+(b−2)+(c−3)=4 (a−1, b−2, c−3≧0)を解くということと同じ

■重複組合せ（文章題） 《問題》 暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください． • 選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます． • 見ているだけでは，採点結果も解説も出ません． ≪1≫ 　10個の同質なボールを３人の子供に分け与える方法は何通りありますか.ただし，1個ももらえない子供があってもよいものとします. 21 28 36 45 56 66 70 78 84 220 286 462 715 解説 異なる３個のものから重複を許して１０個取って来る組合せになります（３人の名前を，重複を許して10回呼ぶ方法と同じです）

≪2≫ 　10個の同質なボールを３人の子供に分け与える方法は何通りありますか.ただし，どの子供も少なくとも1個はもらえるものとします. 21 28 36 45 56 66 70 78 84 220 286 462 715 解説 はじめに1個ずつ配っておき，残り７個を分けます

≪3≫ x+y+z=10 (x, y, z≧0)を満たす整数解(x, y, z)の組は何通りありますか． 21 28 36 45 56 66 70 78 84 220 286 462 715 解説 x, y, zの３人が10個のボールを分ける方法と同じです．

≪4≫ x+y+z=10 (x, y, z≧1)を満たす整数解(x, y, z)の組は何通りありますか． 21 28 36 45 56 66 70 78 84 220 286 462 715 解説 X=x−1, Y=y−1, Z=z−1とおくと， X+Y+Z=7 (X, Y, Z≧0)の解の個数を求めることとなります。上記≪2≫の問題と同じ。

≪5≫ x+y+z=10 (x≧1, y≧0, z≧−2)を満たす整数解(x, y, z)の組は何通りありますか． 21 28 36 45 56 66 70 78 84 220 286 462 715 解説 X=x−1, Y=y, Z=z+2とおくと， X+Y+Z=11 (X, Y, Z≧0)の解の個数を求めることとなります

≪6≫ (x+y+z+p+q)4を展開して同類項をまとめたとき，異なる項は何通りありますか. 21 28 36 45 56 66 70 78 84 220 286 462 715 解説 ５個のものx, y, z, p, qのうちから重複を許して４回名前を呼ぶこととなります. (x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q)(x+y+z+p+q) ↓↓↓↓ xxyp たとえば，このようにしてできるx2ypなどの項が何種類あるかということ

≪7≫ (x+y+z+p)5を展開して同類項をまとめたとき，異なる項は何通りありますか. 21 28 36 45 56 66 70 78 84 220 286 462 715 解説 ４個のものx, y, z, pのうちから重複を許して５回名前を呼ぶこととなります. (x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p)(x+y+z+p) ↓↓↓↓↓ xyzzz たとえば，このようにしてできるxyz3などの項が何種類あるかということ ４個のものx, y, z, pのうちから重複を許して５回名前を呼ぶこととなります.

≪8≫ 　４桁の電話番号で千，百，十，一の位の数を各々a, b, c, dとするとき，0123, 1223, 2333のように，a≦b≦c≦dの条件を満たすものは何通りありますか. 21 28 36 45 56 66 70 78 84 220 286 462 715 解説 並べ替えのできるもの⇒順列 並べ替えのできないもの⇒組合せ です．この問題ではa≦b≦c≦dのように大小の順が決められていて，並べ替えができないので，４個の数字を選べば小さい方から順にa≦b≦c≦dが決まります． 10個の数字から，重複を許して４個選ぶ方法は ※なお，例に示したように４桁の電話番号では最高位の数が０ということもあります．