♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「円順列，じゅず順列」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです． ♫♣ ただし，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 【目次】 • 積の法則 • 和の法則 • 場合分けのまとめ方 • 樹形図・辞書式配列 • 階乗 • 順列 • 重複順列 • 隣り合う並べ方 • 両端指定,整数の順列 • 円順列，じゅず順列 • 組合せ • 組合せ（練習問題） • 組合せ（文章題） • 組み分け • 同じものがあるときの順列 • 順路 • 番号札のもらい方 • 重複組合せ • 重複組合せ（文章題） • 約数の個数・総和 • 二項定理・多項定理 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） 円順列，じゅず順列 ---円順列--- 例1 　４人の生徒が円形のテーブルのまわりに座るとき、座り方は何通りあるか. ＜考え方＞ 　右図の４種類の座り方は，左上の座り方を回転させたものです. 　このように「回転させれば一致する並び方は同じならび方とみなす」のが円順列です. 　円運列とは，座席を区別せず，ものの相対的な位置関係だけを区別するものだともいえます----右図のどの場合にもＡさんの右手にはＢさんがいます. 　座席の区別があれば４！通りの座り方がありますが，まわせば重なるものが４通りずつ含まれているので，円順列としては４！÷４＝3！通りあります. ６通り・・・(答) 　答えとなる並び方は，右図----1人（Ａさん）の座席を固定して表したもの. これらは全部同じもの＝＝＝＞円順列としては1通り

《要点》 ｎ個のもの全部使ってできる円順列の総数は （ｎ－１）！ ※この公式が使えるのは 「ｎ個のものを全部使う場合」 かつ「1回ずつ使う場合」 かつ「同じものがない場合」です． これらの条件を１つでも満たしていない場合には，上記のような簡単な式にはなりません．

---じゅず順列--- 例２ 　ダイヤ，サファイヤ，ルビー，水晶の４個の宝石を使って首飾りを作るとき，何通りの首飾りができるか. ＜考え方＞ 　首飾りのように持ち上げることのできるものでは，「まわして重なる」だけでなく「裏返せば重なる」ことがあります. 　右の６個の輪は前の問題の円順列ですが，この中には裏返せば重なるものが２つずつあります. 　そこで，首飾りの種類は，円順列のさらに半分になります. （このような数え方をするものを，「じゅず順列」といいます.） ３！÷２＝３通り・・・(答)

《要点》 ｎ個のもの全部使ってできるじゅず順列の総数は （ｎ－１）！÷２

《問題》 選択肢をクリックすれば採点結果と解説が出ます．暗算では無理ですから計算用紙で計算してから答えてください． ≪1≫ 　５人の人が円形のテーブルのまわりに座る方法は何通りあるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 (５−1）！です. これを５！−１！などと変形しないように.階乗のカッコは，はずせませんので，カッコ内を先に計算します. (5−1)!=4!=24 …（答）	≪2≫ 　６人の生徒が手をつないで輪になる方法は何通りあるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 ６人で作る円順列です (6−1)!=5!=120 …（答）
≪3≫ 　父母と子供３人の合計５人が円卓のまわりに座るとき，父母が隣り合う座り方は何通りあるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 まず父母をセットにして４人で円順列を作る方法が３！通り その各々について父母の座席を入れ替える方法が2！通り 3!×2!=12 …（答）	≪4≫ 　父母と子供４人の合計６人が円卓のまわりに座るとき，一番年下の子供が父母の間に座る方法は何通りあるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 父母と一番年下の子供をセットにし，合計４人で円順列を作る方法は３！通り その各々について，父母の座席を入れ替える方法が2！通り ※　この問題について，遠回りをしても「父母の間」といえるかどうかは，常識で判断します---遠回りをした場合，間とはいいません. 3!×2!=12 …（答）

≪5≫ 　先生２人，生徒６人の合計８人が手をつないで輪になるとき，先生は互いに向かい側に来るような並び方は，何通りあるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 先生の並び方は，回ることを除けば1通り その各々について，(誰先生の右とか左とか場所に区別ができてしまうので)生徒の並び方は６！通り （別解） 生徒が先に並ぶ方法は５！通り その各々について，先生１人の入れる場所はすきまの６通り．１人の先生の場所が決まるともう1人の先生の入り方は決まってしまう 6!=720 …（答）	≪6≫ 　男子２人，女子４人の合計６人が手をつないで輪になるとき，男子が隣り合わない並び方は何通りあるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 まず，男子が隣り合う並び方を数える： 男子をセットにして1人と数えて，５人の円順列を作る方法は４！通り その各々について，男子の並び方の入れ替え方が２！通り できた結果を全体の円順列(6−1)!から引きます. 5!−4!×2!=120−48=72 …（答） （別解） 　女子が先に円順列を作る方法は３！通り その各々について，女子のすきま４か所から２か所選んで男子が入る方法は，４・３通り 女子が場所を決めたら，各々の場所には「どの女子の右か左か」という個性・区別ができるから，その後から男子の場所を決めるときには，円順列ではなく単なる順列で考える 3!×4×3=72 …（答）
≪7≫ 　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇの７人が卓のまわりにすわるとき，Ｄ，ＦがともにＡと隣り合うような座り方は何通りあるか. （京都府大） 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 Ｄ，Ｆの間にＡが来ることと同じだから，ＤＦＡ組+他の４人=５個のものの円順列の作り方を考えると4!通り その各々についてＤ，Ｆの入れ替えで2!通り 4!×2!=48 …（答）	≪8≫ 　男女５人ずつ合計10人が手をつないで輪になるとき，男女が交互に並ぶ方法は何通りあるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 男子だけで先に円順列を作る方法は４！通り その各々について(男子のすきま５か所には区別がついてしまうので)女子の入り方は５！通り 4!×5!=24×120=2880 …（答）

≪9≫ 　４人の人が次の図のように正方形のテーブルのまわりに座る方法は何通りあるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 円順列とまったく同じです. (4−1)!=3!=6 …（答）	≪10≫ 　赤１枚，青２枚，黄３枚の合計６枚のカードを机の上で円形に並べる方法は何通りあるか.ただし，同じ色のカードには区別はないものとする. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 同じものがあるときの順列 これらのうちには，まわして重なるものが６通りずつ含まれているから　÷６ 10 …（答） （別解） 赤を１枚固定する. 残り５個のカードで同じものがあるときの順列を考えると
≪11≫ 　相異なる６個の宝石を全部使って首飾りを作る方法は何通りあるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 じゅず順列：円順列÷２ (6−1)!÷2=5!÷2=60 …（答）	≪12≫ 　相異なる６個の宝石のうち４個を使って首飾りを作る方法は何通りあるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 ６個から４個を選ぶ方法は6C4通り その各々について，並べ方は４個のもののじゅず順列 6C4×(4−1)!÷2=15×3=45 …（答）

≪13≫ 　立方体(正六面体)の表面を６種類の色を全部使って塗り分ける方法は何通りあるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 1つは固定する（これを底面とする） その各々について，上の面の塗り方は５通り その各々について，側面の塗り方は４個の円順列３！通り 5×3!=30 …（答）

≪14≫ 　正四面体の４面を赤，青，黄，緑の４色で塗り分ける方法は何通りあるか. （龍谷大） 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 まわしてみて重なるものは同じものです. （面対称となっているもの（=鏡に映ったもの）は別のものです.） １つの色，例えば赤を底の面に固定する． 次に，残り３個の側面の塗り方が円順列 (3−1)!=2 …（答）

≪15≫ 　実際に使われるさいころは，向かい合う２面に書かれた数の和が７になるように作られています.（1の裏は6，2の裏は5，3の裏は4です.）この約束だけでさいころを作ると，異なる種類のさいころは，何通りできるか. 2 4 6 10 12 24 30 45 48 60 72 120 360 720 1440 2880 解説 １の裏には６が来るので，２，３，４，５は１と隣り合っています. そのうち２，３の書き方を決めれば４，５は決まります.２の向かい側には３は来ないので，１，２，３は1つの頂点のまわりにあります.結局，３つのものの円順列となります. (3−1)!=2 …（答） （別解） １を底面に固定すると，１の裏には６が来るから上面は６に決まります． 側面の１つに２を固定すると，その向かい側には５がきます． ３の入り方は２通りあり，４は自動的に決まります． 2 …（答） ※上記の約束だけで作ると，結局，鏡対称となる（光学異性体となる）２種類のサイコロが存在することになります．