♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「和の法則」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです． ♫♣ ただし，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 【目次】 • 積の法則 • 和の法則 • 場合分けのまとめ方 • 樹形図・辞書式配列 • 階乗 • 順列 • 重複順列 • 隣り合う並べ方 • 両端指定,整数の順列 • 円順列，じゅず順列 • 組合せ • 組合せ（練習問題） • 組合せ（文章題） • 組み分け • 同じものがあるときの順列 • 順路 • 番号札のもらい方 • 重複組合せ • 重複組合せ（文章題） • 約数の個数・総和 • 二項定理・多項定理 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） ■和の法則 【例1】 　大小2個のさいころを投げて、出た目の和が3の倍数になる場合の数を調べたいとします。 　3で割り切れるのが3の倍数 　例えば3, 6, 9, 12は3の倍数 （解答） 右図１のように目の和の表を作ると 目の和が3になる場合が2通り 目の和が6になるのが5通り 目の和が9になるのが4通り 目の和が12になるのが１通り これらの中に「重複して数えているものはありません」。 したがって、3の倍数になるのは 2+5+4+1＝12通り 　一般に、次の法則が成り立ちます。 【和の法則】 　2つの事柄A、Bは同時には起こらないとします． 　Aの起こり方がm通り、Bの起こり方がn通りあるとき，AまたはBが起こる場合の数はm+n通りになります． ■和の法則を使うかどうかの見分け方■ 　「同時には起こらない」とは、時間のことではなく、論理的に両立しないことを表しています。 　これにより「重複がない」ことになります。重複がないときに「どれかが起こる」場合の数は和で求められるというのが和の法則です。 　例1では、目の和が3であれば目の和は6ではありません。つまり、目の和が3であることは6であることと両立しません。他の場合も、重複して数える可能性はありません。	図１ 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 【例2】 　１つのさいころを2回投げるとき、2回目に出た目が1回目に出た目の2倍以上になる場合の数は何通りありますか。 　（解答） 1回＼2回 1 2 3 4 5 6 1 × ○ ○ ○ ○ ○ 2 × × × ○ ○ ○ 3 × × × × × ○ 4 × × × × × × 5 × × × × × × 6 × × × × × × 1回目が1のとき･･･2回目は、2,3,4,5,6の5通り 1回目が2のとき･･･2回目は、4,5,6の3通り 1回目が3のとき･･･2回目は、6の1通り 1回目が4以上のときは、該当する場合の数はありません。 以上により、5+3+1＝9通り
問題１大小２つのさいころを投げるとき，出た目の和が10以上になる場合の数を求めてください． 通り 採点する やり直す HELP 　図１のように，目の和が10になる場合が３通り，目の和が11になるのが２通り，目の和が12になるのが１通り． 　和の法則により3+2+1＝6通り．	問題２大小２つのさいころを投げるとき，出た目の最小値が３となる場合の数を求めてください． 通り 採点する やり直す HELP 　 1 2 3 4 5 6 1 × × × × × × 2 × × × × × × 3 × × ○ ○ ○ ○ 4 × × ○ × × × 5 × × ○ × × × 6 × × ○ × × × 　最小値が３となるためには，少なくとも１つの目が３となっていて，もう一つの目が３以上となっていることが条件となります． 　右図の○印を数えると，７通り
問題３大小２つのさいころを投げるとき，出た目の最大値が３以上４以下となる場合の数を求めてください． 通り 採点する やり直す HELP 　 1 2 3 4 5 6 1 × × ○ □ × × 2 × × ○ □ × × 3 ○ ○ ○ □ × × 4 □ □ □ □ × × 5 × × × × × × 6 × × × × × × 　最大値が３となるためには，少なくとも１つの目が３となっていて，もう一つの目が３以下となっていることが条件となります．（右図の○印） 　最大値が４となるためには，少なくとも１つの目が４となっていて，もう一つの目が４以下となっていることが条件となります．（右図の□印） 　右図の○と□を数えると，合計12通り	問題４３人の人がじゃんけんを１回だけするとき，あいことなる場合の数は何通りありますか． 通り 採点する やり直す HELP 　「あいこ」となるのは，(A)「全員同じ手を出した場合」(B)「全員異なる手を出した場合」の２つの場合があります． (A)全員同じ手を出す場合：ぐぐぐ，ちちち，ぱぱぱ→３通り (B)全員異なる手を出す場合：ぐちぱ，ぐぱち，ちぐぱ，ちぱぐ，ぱぐち，ぱちぐ→６通り 和の法則により，3+6=9通り
問題５次の関係を満たす整数解x,y,zの組は何通りありますか． x+y+z=5 …(1) 2x+y=5 …(2) 0≦x,y,z≦5 …(3) 通り 採点する やり直す HELP 　(1)(2)は方程式ですが(3)は方程式ではないので，未知数3個に対して方程式が2個しかないことになり，解は１つには定まりませんが「整数解」ということなので解けます． 　(1)(2)を見ると5つのお菓子をx,y,zの３人に配ることをイメージすると分かりやすいでしょう．ただし，(3)により１つももらわない人がいてもよく，全部もらう人がいてもよいことになります． 　このような問題では(2)式で2x...=5となっていることに目を付けると（全部で5つしかないのにxが２つずつ食べるので，たちまち上限に達してしまう），x=0,1,2の場合しかないことになり，場合分けが少なくて済みます． (i) x=0のとき，(2)よりy=5，(1)よりz=0 (ii) x=1のとき，(2)よりy=3，(1)よりz=1 (iii) x=2のとき，(2)よりy=1，(1)よりz=2 (*) x≧3のとき，(2)よりy<0となって解はない 　以上により，３通り 【要点】 　係数が大きな文字で場合分けする	問題６次の関係を満たす整数解x,y,zの組は何通りありますか． x+y+z=6 …(1) 2x+y−z=3 …(2) 0≦x,y,z≦6 …(3) 通り 採点する やり直す HELP 　(1)(2)は方程式ですが(3)は方程式ではないので，未知数3個に対して方程式が2個しかないことになり，解は１つには定まりませんが「整数解」ということなので解けます． 　(2)を見ると３個しかないお菓子をx,yが食べ尽くすのは早いのですが，zが足を引っ張っていますので，(1)(2)を使って食べ尽くし型（和だけの式）にしておくと使いやすくなります． 　(1)+(2)：3x+2y=9 …(4) 　このような問題ではxの値で場合分けすると，場合分けが少なくて済みます．（９個しかないお菓子をxが３個ずつ食べるので，すぐに上限に達してしまう） (i) x=0のとき，(4)より2y=9→整数解はない (ii) x=1のとき，(4)よりy=3，(1)よりz=2 (iii) x=2のとき，(4)より2y=3→整数解はない (iv) x=3のとき，(4)よりy=0，(1)よりz=3 (*) x≧4のとき，(4)よりy<0となって解はない 　以上により，２通り