順列,組合せ,確率(共通,センター問題)
【単元の目次】
《数学Ⅰ》
数と式根号計算場合の数.順列.組合せ2次不等式
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== 順列,組合せ,確率(共通,センター問題) ==

【2013年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第4問(選択問題)
(1)
 1から4までの数字を,重複を許して並べてできる4けたの自然数は,全部でアイウ個ある。

(2)
 (1)のアイウ個の自然数のうちで,1から4までの数字を重複なく使ってできるものはエオ個ある。

(3)
 (1)のアイウ個の自然数のうちで,1331のように,異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものの個数を,次の考え方に従って求めよう。

(i)
1から4までの数字から異なる二つを選ぶ。この選び方は通りある。

(ii)
(i)で選んだ数字のうち小さいほうを,一・十・百・千の位のうち,どの2箇所に置くか決める。置く2箇所の決め方は通りある。小さい方の数字を置く場所を決めると,大きいほうの数字を置く場所は残りの2箇所に決まる。

(iii)
(i)と(ii)により,求める個数はクケ個である。

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(4)
 (1)のアイウ個の自然数を,それぞれ別々のカードに書く。できたアイウ枚のカードから1枚引き,それに書かれた数の四つの数字に応じて,得点を次のように定める。

  • 四つとも同じ数字のとき9点
  • 2回現れる数字が二つあるとき3点
  • 3回現れる数字が一つと,
    1回だけ現れる数字が一つあるとき2点
  • 2回現れる数字が一つと,
    1回だけ現れる数字が二つあるとき1点
  • 数字の重複がないとき0点
(i) 得点が9点となる確率は
サシ
,得点が3点となる確率

セソ
である。

(ii) 得点が2点となる確率は
チツ
,得点が1点となる確率

トナ
である。

(iii) 得点の期待値は
点である。

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【2014年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第4問(選択問題)
 下の図は,ある町の街路樹の一部である。
 ある人が,交差点Aから出発し,次の規則に従って,交差点から隣の交差点への移動を繰り返す。
① 街路上のみを移動する。
② 出発前にサイコロを投げ,出た目に応じて上図の1~6の矢印の方向の隣の交差点に移動する。
③ 交差点に達したら,再びサイコロを投げ,出た目に応じて図の1~6の矢印の方向の隣の交差点に移動する。(一度通った道を引き返すこともできる。)
④ 交差点に達するたびに,③と同じことを繰り返す。
(1) 交差点Aを出発し,4回移動して交差点Bにいる移動の仕方について考える。この場合,3の矢印の方向の移動と4の矢印の方向の移動をそれぞれ2回ずつ行うので,このような移動の仕方は通りある。
(2) 交差点Aを出発し,3回移動して交差点Cにいる移動の仕方は通りある。
(3) 交差点Aを出発し,6回移動することを考える。このとき,交差点Aを出発し,3回目の移動が終わった時点で交差点Cにいて,次に3回移動して交差点Dにいる移動の仕方
ウエ通りあり,その確率は
カキクケ
である。

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(4) 交差点Aを出発し,6回移動して交差点Dにいる移動の仕方について考える。
  • 1の矢印の向きの移動を含むものは通りある。
  • 2の矢印の向きの移動を含むものはサシ通りある。
  • 6の矢印の向きの移動を含むものもサシ通りある。
  • 上記3つ以外の場合,4の矢印の向きの移動は回だけに決まるので,移動の仕方はセソ通りある。
よって,交差点Aを出発し,6回移動して交差点Dにいる移動の仕方はタチツ通りある。
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【2015年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第4問(選択問題)
 同じ大きさの5枚の正方形の板を一列に並べて,図のような掲示板を作り,壁に固定する。赤色,緑色,青色のペンキを用いて,隣り合う正方形どうしが異なる色となるように,この掲示板を塗り分ける。ただし,塗り分ける際には,3色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく,2色のペンキだけで塗分けることがあってもよいものとする。
(1) このような塗り方は,全部でアイ通りある。
(2) 塗り方が左右対称となるのは,ウエ通りある。
(3) 青色と緑色の2色だけで塗り分けるのは,通りある。
(4) 赤色に塗られる正方形が3枚であるのは,通りある。
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(5) 赤色に塗られる正方形が1枚である場合について考える。
• どちらかの端の1枚が赤色に塗られるのは,通りある。
• 端以外の1枚が赤色に塗られるのは,クケ通りある。
よって,赤色に塗られる正方形が1枚であるのは,コサ通りある。
(6) 赤色に塗られる正方形が2枚であるのは,シス通りある。
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【2016年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第3問(選択問題)
 赤球4個,青球3個,白球5個,合計12個の球がある。これら12個の球を袋の中に入れ,この袋からAさんがまず1個取り出し,その球をもとに戻さずに続いてBさんが1個取り出す。
(1) AさんとBさんが取り出した2個の球のなかに,赤球か
青球が少なくとも1個含まれている確率は
アイ
ウエ
である。

(2) Aさんが赤球を取り出し,かつBさんが白球を取り出
す確率は
カキ
である。これより,Aさんが取り出した

 球が赤球であったとき,Bさんが取り出した球が白球で
ある条件付き確率は
ケコ
である。

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(3) Aさんは1球取り出したのち,その色を見ずにポケットの中にしまった。Bさんが取り出した球が白球であることがわかったとき,Aさんが取り出した球も白球であった条件付き確率を求めたい。
 Aさんが赤球を取り出し,かつBさんが白球でを取り出す
確率は
カキ
であり,Aさんが青球を取り出して,かつ

Bさんが白球を取り出す確率は
シス
である。同時に,A

さんが白球を取り出し,かつBさんが白球を取り出す確率を求めることができ,これらの事象は互いに排反である
から,Bさんが白球を取り出す確率は
ソタ
である。

よって,求める条件付確率は
ツテ
である。

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【2017年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第3問(選択問題)
 あたりが2本,はずれが2本の合計4本からなるくじがある。A,B,Cの3人がこの順に1本ずつくじを引く。ただし,1度引いたくじはもとに戻さない。
(1) A,Bの少なくとも一方があたりのくじを引く事象E1
の確率は,
である。

(2) 次のに当てはまるものを,下の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし,解答の順序は問わない。
 A,B,Cの3人で2本のあたりくじを引く事象Eは,3つの排反な事象の和事象である。
⓪ Aがはずれのくじを引く事象
① Aだけがはずれのくじを引く事象
② Bがはずれのくじを引く事象
③ Bだけがはずれのくじを引く事象
④ Cがはずれのくじを引く事象
⑤ Cだけがはずれのくじを引く事象
また,その和事象の確率は
である。

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(3) 事象E1が起こったときの事象Eの起こる条件付き確率
は,
である。


(4) 次のに当てはまるものを,下の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし,解答の順序は問わない。
 B,Cの少なくとも一方があたりくじを引く事象E2は,3つの排反な事象の和事象である。
⓪ Aがはずれのくじを引く事象
① Aだけがはずれのくじを引く事象
② Bがはずれのくじを引く事象
③ Bだけがはずれのくじを引く事象
④ Cがはずれのくじを引く事象
⑤ Cだけがはずれのくじを引く事象

また,その和事象の確率は
である。他方,A,Cの

少なくとも一方があたりのくじを引く事象E3の確率は,

である。

 
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(5) 次のに当てはまるものを,下の⓪~⑤のうちから一つずつ選べ。
 事象E1が起こったときの事象Eの起こる条件付き確率p1,事象E2が起こったときの事象Eの起こる条件付き確率p2,
事象E3が起こったときの事象Eの起こる条件付き確率p3
の間の大小関係は,である。
⓪ p1<p2<p3
① p1>p2>p3
② p1<p2=p3

③ p1>p2=p3
④ p1=p2<p3
⑤ p1=p2>p3

③ p1=p2=p3

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【2018年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第3問(選択問題)
 一般に、事象Aの確率をP(A)で表す。また,事象Aの余事象をと表し,二つの事象A,Bの積事象をA∩Bと表す。
 大小2個のさいころを同時に投げる試行において
Aを「大きいさいころについて,4の目が出る」という事象
Bを「2個のさいころの出た目の和が7である」という事象
Cを「2個のさいころの出た目の和が9である」という事象
とする。
(1) 事象A,B,Cの確率は,それぞれ
P(A)=
P(B)=
P(C)=

である。
(2) 事象Cが起こったときの事象Aが起こる条件付き確率
であり,事象Aが起こったときの事象Cが起こる

条件付き確率は
である。

[解答を見る]

(3) 次のに当てはまるものを,下の0 ~②のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
P(A∩B) P(A) P(B)
P(A∩C) P(A) P(C)
   0  <   ① =   ② >
(4) 大小2個のさいころを同時に投げる試行を2回繰り返す。1回目に事象A∩Bが起こり,2回目に事象
起こる確率は
セソタ
である。三つの事象A,B,Cがい

ずれもちょうど1回ずつ起こる確率は
ツテ
である。

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【2019年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第3問(選択問題)
 赤い袋には赤球2個と白球1個が入っており,白い袋には赤球1個と白球1個が入っている。
 最初に,さいころ1個を投げて,3の倍数の目が出たら白い袋を選び,それ以外の目が出たら赤い袋を選び,選んだ袋から球を1個取り出して,球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作を1回目の操作とする。2回目と3回目の操作では,直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を1個取り出して,球の色を確認してその袋に戻す。
(1) 1回目の操作で,赤い袋が選ばれ赤球が取り出される
確率は
であり,白い袋が選ばれ赤球が取り出される

確率は
である。

(2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は
カキ
である。

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(3) 1回目の操作で白球を取り出す確率をpで表すと,2回
目の操作で白球が取り出される確率は
と表さ

れる。
よって,2回目の操作で白球が取り出される確率は
コサ
シスセ
である。

 同様に考えると,3回目の操作で白球が取り出される確
率は
ソタチ
ツテト
である。

(4) 2回目の操作で取り出した球が白球であったとき,そ
 の球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は
ナニ
ヌネ
である。

 また,3回目の操作で取り出した球が白球であったとき,はじめて白球が取り出されたのが3回目の操作である
条件付き確率は
ノハ
ヒフヘ
である。

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【2020年度センター試験.数学Ⅰ・数学A】第3問(選択問題)
[1] 次のに当てはまるものを,下の⓪~③のうちから一つずつ選べ。ただし,解答の順序は問わない。
 正しい記述はである。
⓪1枚のコインを投げる試行を5回繰り返すとき,少なくとも1回は表が出る確率をpとすると,p>0.95である。
 袋の中に赤球と白球が合わせて8個入っている。球を1個取り出し,色を調べてから袋に戻す試行を行う。この試行を5回繰り返したところ赤球が3回出た。したがって,1回の試行で赤球が出る確率はである。
 箱の中に「い」と書かれたカードが1枚,「ろ」と書かれたカードが2枚,「は」と書かれたカードが2枚の合計5枚のカードが入っている。同時に2枚のカードを取り出すとき,書かれた文字が異なる確率はである。
 コインの面を見て「オモテ(表)」または「ウラ(裏)」とだけ発言するロボットが2体ある。ただし,どちらのロボットも出た面に対して正しく発言する確率が0.9,正しく発言しない確率が0.1であり,これら2体は互いに影響されることなく発言するものとする。いま,ある人が1枚のコインを投げる。出た面を見た2体が,ともに「オモテ」と発言したときに,実際に表が出ている確率をpとすると,p≦0.9である。
[解答を見る]

[2] 1枚のコインを最大で5回投げるゲームを行う。このゲームでは,1回投げるごとに表が出たら持ち点に2点を加え,裏が出たら持ち点に−1点を加える。はじめの持ち点は0点とし,ゲーム終了のルールを次のように定める。
  • 持ち点が再び0点になった場合は,その時点で終了する。
  • 持ち点が再び0点にならない場合は,コインを5回投げ終わった時点で終了する。
(1) コインを2回投げ終わって持ち点が−2点である確率は
である。また,コインを2回投げ終わって持ち点が

1点である確率は
である。

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(2) 持ち点が再び0点になることが起こるのは,コインを
回投げ終わったときである。コインを
投げ終わって持ち点が0点となる確率は
である。

(3) ゲームが終了した時点で持ち点が4点である確率は
サシ
である。

(4) ゲームを終了した時点で持ち点が4点であるとき,コインを2回投げ終わって持ち点が1点である条件付き確率は
である。

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【2021年度共通テスト.数学Ⅰ・数学A】第3問(選択問題)
 中にくじが入ってる箱が複数あり,各箱の外見は同じであるが,当たりくじを引く確率は異なっている。くじ引きの結果から,どの箱からくじを引いた可能性が高いかを,条件付き確率を用いて考えよう。
(1) 当たりくじを引く確率がである箱Aと,当たりくじを引く確率がである箱Bの二つのの場合を考える。
(i) 各箱で,くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき
箱Aにおいて,3回中ちょうど1回当たる確率は
・・・①

箱Bにおいて,3回中ちょうど1回当たる確率は
・・・②

である。
(ii) まず,AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次に,その選んだ箱において,くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ,3回中ちょうど1回当たった。このとき,箱Aが選ばれる事象をA,箱Bが選ばれる事象をB,3回中ちょうど1回当たる事象をWとすると

である。であるから,3回中ちょうど1回当たったとき,選んだ箱がAであ
る条件付き確率
オカ
キク
となる。また,条件付

き確率
ケコ
サシ
となる。

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(2) (1)のについて,次の事実(*)が成り立つ。
事実(*)
は,①の確率と②の確率のに等しい。
の解答群
⓪ 和 ① 2乗の和 ② 3乗の和 ③ 比 ④ 積
(3) 花子さんと太郎さんは事実(*)について話している。
花子:事実(*)はなぜ成り立つのかな?
太郎:を求めるのに必要なの計算で,①,②の確率に同じ数をかけているからだよ。
花子:なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は,同じ数をかけることになるので,同様のことが成り立ちそうだね。
 当たりくじを引く確率が,である箱A,である箱B,である箱Cの三つの箱の場合を考える。まず,A,B,Cのうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において,くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ,3回中ちょうど1回当たった。このとき,選
んだ箱がAである条件付き確率は
セソタ
チツテ
となる。

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(4)
花子:どうやら箱が三つの場合でも,条件付き確率のは各箱で3回中ちょうど1回当たりくじを引く確率のになっているみたいだね。
太郎:そうだね。それを利用すると,条件付き確率の値は計算しなくても,その大きさを比較することができるね。
 当たりくじを引く確率が,である箱A,である箱B,である箱C,である箱Dの四つの箱の場合を考える。まず,A,B,C,Dのうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において,くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ,3回中ちょうど1回当たった。このとき,条件付き確率を用いて,どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える。可能性が高い順に並べるととなる。
の解答群
⓪ A, B, C, D  ① A, B, D, C  ② A, C, B, D
③ A, C, D, B  ④ A, D, B, C  ⑤ B, A, C, D
⑥ B, A, D, C  ⑦ B, C, A, D  ⑧ B, C, D, A
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【2022年度共通テスト.数学Ⅰ・数学A】第3問(選択問題)
 複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り,交換会を開く。ただし,プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の手順で行う。
手順  外見が同じ袋を人数分用意し,各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで,各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中のプレゼントを受け取る。

 交換の結果,1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は,交換をやり直す。そして,全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。
(1) 2人または3人で交換会を開く場合を考える。
(i) 2人で交換会を開く場合,1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は通りある。した
がって,1回目の交換で交換会が終了する確率は

である。
(ii) 3人で交換会を開く場合,1回目の交換会で交換会が終了するプレゼントの受け取り方は通りある。したがって,1回目の交換で交換会が終了する確率は
である。

(iii) 3人で交換会を開く場合,4回以下の交換で交換会
が終了する確率は
キク
ケコ
である。

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(2) 4人で交換会を開く場合,1回目の交換で交換会が終了する確率を次の構想に基づいて求めてみよう。
構想  1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方の総数を求める。そのために,自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって場合分けをする。

 1回目の交換で,4人のうち,ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合は通りある。ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合は通りある。このように考えていくと,1回目のプレゼントの受け取り方のうち,1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数はスセである。
 したがって,1回目の交換で交換会が終了する確率は

である。
(3) 5人で交換会を開く場合,1回目の交換で交換会が終了
する確率は
チツ
テト
である。

(4) A, B, C, D, Eの5人が交換会を開く。1回目の交換でA, B, C, Dがそれぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったとき,その回で交換会が終了する条件付き確率は
ナニ
ヌネ
である。

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