【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 【目次】 • 積の法則 • 和の法則 • 場合分けのまとめ方 • 樹形図・辞書式配列 • 階乗 • 順列 • 重複順列 • 隣り合う並べ方 • 両端指定,整数の順列 • 円順列，じゅず順列 • 組合せ • 組合せ（練習問題） • 組合せ（文章題） • 組み分け • 同じものがあるときの順列 • 順路 • 番号札のもらい方 • 重複組合せ • 重複組合せ（文章題） • 約数の個数・総和 • 二項定理・多項定理 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） ♪♥ この教材は，高校数学の基本問題のうち，順列，組合せ，確率のセンター試験問題を扱ったページのバックアップファイルです． ♫♣ 元の教材が機器や通信トラブルで読めないときに，こちらを使ってください．なお，学習の記録は付いていません． == 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） == 【2013年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第4問(選択問題) (1) 　1から4までの数字を，重複を許して並べてできる4桁けたの自然数は，全部でアイウ個ある。 (2) 　(1)のアイウ個の自然数のうちで，1から4までの数字を重複なく使ってできるものはエオ個ある。 (3) 　(1)のアイウ個の自然数のうちで，1331のように，異なる二つの数字を2回ずつ使ってできるものの個数を，次の考え方に従って求めよう。 (i) 1から4までの数字から異なる二つを選ぶ。この選び方はカ通りある。 (ii) (i)で選んだ数字のうち小さいほうを，一・十・百・千の位のうち，どの2箇所に置くか決める。置く2箇所の決め方はキ通りある。小さい方の数字を置く場所を決めると，大きいほうの数字を置く場所は残りの2箇所に決まる。 (iii) (i)と(ii)により，求める個数はクケ個である。

［解答を見る］ 【重複順列】 　 Πという記号は，覚えなくても，使わなくてもよい．単に，が書けたらよい． (1) →アイウ (2) 【順列】 　相異なるn個のものから，r個（0≦r≦n）とってできる順列の総数は →エオ (3) 　(i) →カ 　(ii) →キ 　(iii) →クケ →解答を隠す←

(4) 　(1)のアイウ個の自然数を，それぞれ別々のカードに書く。できたアイウ枚のカードから1枚引き，それに書かれた数の四つの数字に応じて，得点を次のように定める。 四つとも同じ数字のとき9点 2回現れる数字が二つあるとき3点 3回現れる数字が一つと， 1回だけ現れる数字が一つあるとき2点 2回現れる数字が一つと， 1回だけ現れる数字が二つあるとき1点 数字の重複がないとき0点 (i)　得点が9点となる確率は コ サシ ，得点が3点となる確率 は ス セソ である。 (ii)　得点が2点となる確率は タ チツ ，得点が1点となる確率 は テ トナ である。 (iii)　得点の期待値は ニ ヌ 点である。

［解答を見る］ (4) 　(i) カード全部の枚数は(1)の結果からN=256で，どのカードが出ることも同様に確からしい． ●　得点が9点となるのは，四枚とも同じ数からなるときで，その枚数はn=4（1111, 2222, 3333, 4444の4枚） 確率は →コサシ ●　得点が3点となるのは，(3)(iii)の結果から，n=36 確率は →スセソ (ii) ●　得点が2点となる場合 3回現れる数字の決め方は，通り， その各々について，1回だけ現れる数字の決め方は通り したがって，数字は通り その各々について，並べ方は 通り 確率は →タチツ ●　得点が1点となる場合 2回現れる数字の決め方は，通り， その各々について，1回だけ現れる数字二つの決め方は通り したがって，数字は通り その各々について，並べ方は 通り 確率は →テトナ 　(iii) 期待値は →ニヌ →解答を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第4問(選択問題) 　下の図は，ある町の街路樹の一部である。 　ある人が，交差点Aから出発し，次の規則に従って，交差点から隣の交差点への移動を繰り返す。 ①　街路上のみを移動する。 ②　出発前にサイコロを投げ，出た目に応じて上図の1～6の矢印の方向の隣の交差点に移動する。 ③　交差点に達したら，再びサイコロを投げ，出た目に応じて図の1～6の矢印の方向の隣の交差点に移動する。（一度通った道を引き返すこともできる。） ④　交差点に達するたびに，③と同じことを繰り返す。 (1)　交差点Aを出発し，4回移動して交差点Bにいる移動の仕方について考える。この場合，3の矢印の方向の移動と4の矢印の方向の移動をそれぞれ2回ずつ行うので，このような移動の仕方はア通りある。 (2)　交差点Aを出発し，3回移動して交差点Cにいる移動の仕方はイ通りある。 (3)　交差点Aを出発し，6回移動することを考える。このとき，交差点Aを出発し，3回目の移動が終わった時点で交差点Cにいて，次に3回移動して交差点Dにいる移動の仕方 はウエ通りあり，その確率は オ カキクケ である。

［解答を見る］ (1) 　2個ずつ同じ数字の組{3, 3, 4, 4}を並べ替えてできる順列の総数と同じだから →ア (2) 　{3, 4, 5}を1回ずつ並べる順列の総数と同じだから →イ 　場合の数や確率の問題では，答案は「場合分けの理屈」で考えることが多いが，答に確信を持ちにくいことが多い． 　(1)のように「同じものがあるときの順列の総数」の「公式そのまま」のものは，とりあえず良いとしよう． 　では，(2)以下の答が正しいということはどう示したらよいか ⇒試験会場で5分くらいでできる検算として「具体的に図示する」のもよい方法だと考えられる． 　A→P→Q→C（3→5→4の順） 　S→C（3→4→5の順） 　A→Q→S→C（4→3→5の順） 　T→C（4→5→3の順） 　A→R→Q→C（5→3→4の順） 　T→C（5→4→3の順） の6通りある (3) 　3回でAからCに至るのは6通りで，これと同様に3回でCからDに至るのも6通りだから 　6×6=36通り→ウエ 　確率は →オ,カキクケ →解答を隠す←

(4)　交差点Aを出発し，6回移動して交差点Dにいる移動の仕方について考える。 1の矢印の向きの移動を含むものはコ通りある。 2の矢印の向きの移動を含むものはサシ通りある。 6の矢印の向きの移動を含むものもサシ通りある。 上記3つ以外の場合，4の矢印の向きの移動はス回だけに決まるので，移動の仕方はセソ通りある。 よって，交差点Aを出発し，6回移動して交差点Dにいる移動の仕方はタチツ通りある。

［解答を見る］ (4) • 1の矢印の向きの移動を含むときは，残り5回は4の矢印の向きになるから，{1,4,4,4,4,4}の並べ方の総数を求める →コ • 2の矢印の向きの移動を含むときは，5の矢印の向き1回と4の矢印の向き4回になるから，{2,5,4,4,4,4}の並べ方の総数を求める →サシ • 4の矢印の向きの移動は下に1目盛り（x回とする），3, 5の矢印の向きの移動（各々y回, z回とする）は下に0.5目盛り移動するから，6個の移動で下に4目盛り移動するのは，4が2回で3または5が4回の場合だけになる x+0.5y+0.5z=4･･･(#1) x+y+z=6･･･(#2) (#1)×2−(#2)より 　x=2→ス 下に4，左右に0だけ移動するのは，{3,3,5,5,4,4}を並べ替えたものとなる場合だから，その並べ方の総数を求める →セソ 以上の合計を求めると 　6+30+30+90=156→タチツ →解答を隠す←

【2015年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第4問(選択問題) 　同じ大きさの5枚の正方形の板を一列に並べて，図のような掲示板を作り，壁に固定する。赤色，緑色，青色のペンキを用いて，隣り合う正方形どうしが異なる色となるように，この掲示板を塗り分ける。ただし，塗り分ける際には，3色のペンキをすべて使わなければならないわけではなく，2色のペンキだけで塗分けることがあってもよいものとする。 (1)　このような塗り方は，全部でアイ通りある。 (2)　塗り方が左右対称となるのは，ウエ通りある。 (3)　青色と緑色の2色だけで塗り分けるのは，オ通りある。 (4)　赤色に塗られる正方形が3枚であるのは，カ通りある。

［解答を見る］ 　(1)～(4)は，公式に当てはめると解けるので，受験生のほとんどが正解になると考えられる． 　当てはめる公式がない(5)(6)の出来具合で，得点差が出るでしょう． 　豆をつかむとき「1つずつつかむ」方が着実に進む･･･(5)は，具体的に数え上げる方が結局早い． (1) 　左端の正方形の塗り方は3通り．その各々について，左から2番目の正方形の塗り方は，（左端の色以外の）2通り．その各々について，左から3番目の正方形の塗り方は，（左から2番目の正方形の色以外の）2通り．･･･ 　以上により，3×2×2×2×2=48通り→アイ (2) 　左右対称に塗ると，左から3番まで塗れば，残りは決まってしまう． 　左から3番までの塗り方は，3×2×2=12通り→ウエ (3) 　2色で塗分けるときは，左端の色を決めれば，残りの色は決まるから2通り→オ (4) 　赤色が3枚あるときは，赤色が隣り合わないようにするためには，赤他赤他赤の順に塗り分けるしかない． 赤青赤青赤 赤青赤緑赤 赤緑赤青赤 赤緑赤緑赤 の4通り→カ →解答を隠す←

(5)　赤色に塗られる正方形が1枚である場合について考える。 • どちらかの端の1枚が赤色に塗られるのは，キ通りある。 • 端以外の1枚が赤色に塗られるのは，クケ通りある。 よって，赤色に塗られる正方形が1枚であるのは，コサ通りある。 (6)　赤色に塗られる正方形が2枚であるのは，シス通りある。

［解答を見る］ • 左端が赤色で，他には赤色は使わないとき 　左から2番目の正方形の塗り方は，2通り．左から3番目以後は決まってしまう．したがって，2通り • 右端が赤色の場合も，同様にして2通り 　合計4通り→キ • 端以外の1枚が赤色となるのは 1) 青が3枚,緑が1枚のとき 青赤青緑青 青緑青赤青　の2通り 2) 青が1枚,緑が3枚のとき 緑赤緑青緑 緑青緑赤緑　の2通り 3) 青が2枚,緑が2枚のとき 緑赤青緑青 緑青赤緑青 緑青赤青緑 緑青緑赤青 青赤緑青緑 青緑赤青緑 青緑赤緑青 青緑青赤緑　の8通り 計12通り→クケ よって，赤色に塗られる正方形が1枚であるのは，16通り→コサ 赤が0枚⇒2通り（←オ） 赤が1枚⇒16通り（←コサ） 赤が3枚⇒4通り（←カ） 全部で⇒48通り（←アイ） ----------------- 赤が2枚⇒48−(2+16+4)=26通り→シス →解答を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第3問(選択問題) 　赤球4個，青球3個，白球5個，合計12個の球がある。これら12個の球を袋の中に入れ，この袋からAさんがまず1個取り出し，その球をもとに戻さずに続いてBさんが1個取り出す。 (1)　AさんとBさんが取り出した2個の球のなかに，赤球か 青球が少なくとも1個含まれている確率は アイ ウエ である。 (2)　Aさんが赤球を取り出し，かつBさんが白球を取り出 す確率は オ カキ である。これより，Aさんが取り出した 　球が赤球であったとき，Bさんが取り出した球が白球で ある条件付き確率は ク ケコ である。

［解答を見る］ (1) 余事象の確率：ABとも白球を取り出す確率は したがって，求める確率は →アイウエ (2) Aさんが赤球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率は →オカキ 　Aが赤球を取り出した時点で考えると，袋の中に球は全部で11個あり，その中に白球は5個あるから →クケコ →解答を隠す←

(3)　Aさんは１球取り出したのち，その色を見ずにポケットの中にしまった。Bさんが取り出した球が白球であることがわかったとき，Aさんが取り出した球も白球であった条件付き確率を求めたい。 　Aさんが赤球を取り出し，かつBさんが白球でを取り出す 確率は オ カキ であり，Aさんが青球を取り出して，かつ Bさんが白球を取り出す確率は サ シス である。同時に，A さんが白球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率を求めることができ，これらの事象は互いに排反である から，Bさんが白球を取り出す確率は セ ソタ である。 よって，求める条件付確率は チ ツテ である。

［解答を見る］ (3) ア） Aさんが青球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率は →サシス イ） Aさんが白球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率は ウ） Aさんが赤球を取り出し，かつBさんが白球を取り出す確率は（オカキにより） 以上から，Bさんが白球を取り出す確率は →セソタ Bさんが取り出した球が白球である確率を，Aさんが取り出した球白球である確率を，Bさんが取り出した球が白球であることが分かったとき，Aさんが取り出した球も白球であった条件付き確率は →チツテ →解答を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第3問(選択問題) 　あたりが2本，はずれが2本の合計4本からなるくじがある。A，B，Cの3人がこの順に1本ずつくじを引く。ただし，1度引いたくじはもとに戻さない。 (1)　A，Bの少なくとも一方があたりのくじを引く事象E1 の確率は， ア イ である。 (2) 次のウ，エ，オに当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし，解答の順序は問わない。 　A，B，Cの3人で2本のあたりくじを引く事象Eは，3つの排反な事象ウ，エ，オの和事象である。 ⓪　Aがはずれのくじを引く事象 ①　Aだけがはずれのくじを引く事象 ②　Bがはずれのくじを引く事象 ③　Bだけがはずれのくじを引く事象 ④　Cがはずれのくじを引く事象 ⑤　Cだけがはずれのくじを引く事象 また，その和事象の確率は カ キ である。

［解答を見る］ (1) 少なくとも一方があたりのくじを引く事象は，2人とも外れくじを引く事象の余事象だから →アイ (2) ①Aだけがはずれのくじを引く，③Bだけがはずれのくじを引く，⑤Cだけがはずれのくじを引く→ウエオ -表1- 　 A B C 確率 E1 E2 E3 E (1) あ あ は 〇 〇 〇 〇 (2) あ は あ 〇 〇 〇 〇 (3) あ は は 〇 　 〇 　 (4) は あ あ 〇 〇 〇 〇 (5) は あ は 〇 〇 　 　 (6) は は あ 　 〇 〇 　 ［記号］ あ：あたり は：はずれ 〇：該当する 　表1において，→カキ →解答を隠す←

(3)　事象E1が起こったときの事象Eの起こる条件付き確率 は， ク ケ である。 (4) 次のコ，サ，シに当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし，解答の順序は問わない。 　B，Cの少なくとも一方があたりくじを引く事象E2は，3つの排反な事象コ，サ，シの和事象である。 ⓪　Aがはずれのくじを引く事象 ①　Aだけがはずれのくじを引く事象 ②　Bがはずれのくじを引く事象 ③　Bだけがはずれのくじを引く事象 ④　Cがはずれのくじを引く事象 ⑤　Cだけがはずれのくじを引く事象 また，その和事象の確率は ス セ である。他方，A，Cの 少なくとも一方があたりのくじを引く事象E3の確率は， ソ タ である。

［解答を見る］ (3) 表1において だから →クケ (4) 　表1において，6つの事象(1)～(6)は互いに排反な事象であるが，3つの和事象でE2と等しいものを作るには 〇0　③⑤→コサシ 　その確率は →スセ 　同様にして →ソタ →解答を隠す←

(5)　次のチに当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。 　事象E1が起こったときの事象Eの起こる条件付き確率p1,事象E2が起こったときの事象Eの起こる条件付き確率p2, 事象E3が起こったときの事象Eの起こる条件付き確率p3 の間の大小関係は，チである。 ⓪　p1<p2<p3 ①　p1>p2>p3 ②　p1<p2=p3 ③　p1>p2=p3 ④　p1=p2<p3 ⑤　p1=p2>p3 ③　p1=p2=p3

［解答を見る］ (5) 　表1により だから →⑥チ →解答を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第3問(選択問題) 　一般に、事象Aの確率をP(A)で表す。また，事象Aの余事象をと表し，二つの事象A，Bの積事象をA∩Bと表す。 　大小2個のさいころを同時に投げる試行において Aを「大きいさいころについて，4の目が出る」という事象 Bを「2個のさいころの出た目の和が7である」という事象 Cを「2個のさいころの出た目の和が9である」という事象 とする。 (1)　事象A，B，Cの確率は，それぞれ P(A)= ア イ ， P(B)= ウ エ ， P(C)= オ カ である。 (2)　事象Cが起こったときの事象Aが起こる条件付き確率 は キ ク であり，事象Aが起こったときの事象Cが起こる 条件付き確率は ケ コ である。

［解答を見る］ (1) →アイ →ウエ →オカ (2) →キク →ケコ →解答を隠す←

(3)　次のサ，シに当てはまるものを，下の〇0　～②のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。 P(A∩B) サ P(A) P(B) P(A∩C) シ P(A) P(C) 　　　〇0　　<　　　①　=　　　②　> (4)　大小2個のさいころを同時に投げる試行を2回繰り返す。1回目に事象A∩Bが起こり，2回目に事象が 起こる確率は ス セソタ である。三つの事象A，B，Cがい ずれもちょうど1回ずつ起こる確率は チ ツテ である。

［解答を見る］ (3) 表１により →①サ →②シ (4) →スセソタ 事象A，B，Cがいずれもちょうど1回ずつ起こるのは ア1） ア2） イ1） イ2） 以上を加えると →チツテ →解答を隠す←

【2019年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第3問(選択問題) 　赤い袋には赤球2個と白球1個が入っており，白い袋には赤球1個と白球1個が入っている。 　最初に，さいころ1個を投げて，3の倍数の目が出たら白い袋を選び，それ以外の目が出たら赤い袋を選び，選んだ袋から球を1個取り出して，球の色を確認してその袋に戻す。ここまでの操作を1回目の操作とする。2回目と3回目の操作では，直前に取り出した球の色と同じ色の袋から球を1個取り出して，球の色を確認してその袋に戻す。 (1)　1回目の操作で，赤い袋が選ばれ赤球が取り出される 確率は ア イ であり，白い袋が選ばれ赤球が取り出される 確率は ウ エ である。 (2) 2回目の操作が白い袋で行われる確率は オ カキ である。

［解答を見る］ (1) 1回目の操作で，赤い袋が選ばれるのは，さいころの{1,2,4,5}が出た場合だから さらに，赤球が取り出されるのは よって →アイ 1回目の操作で，白い袋が選ばれるのは，さいころの{3,6}が出た場合だから さらに，赤球が取り出されるのは よって →ウエ (2) 2回目の操作が白い袋で行われるのは，ア）「はじめ{1,2,4,5}の目が出て，白球を取り出す場合」とイ）「はじめ{3,6}の目が出て，白球を取り出す場合」がある ア）　 イ）　 これら排反事象の和を求めると →オカキ →解答を隠す←

(3)　1回目の操作で白球を取り出す確率をpで表すと，2回 目の操作で白球が取り出される確率は ク ケ と表さ れる。 よって，2回目の操作で白球が取り出される確率は コサ シスセ である。 　同様に考えると，3回目の操作で白球が取り出される確 率は ソタチ ツテト である。 (4)　2回目の操作で取り出した球が白球であったとき，そ 　の球を取り出した袋の色が白である条件付き確率は ナニ ヌネ である。 　また，3回目の操作で取り出した球が白球であったとき，はじめて白球が取り出されたのが3回目の操作である 条件付き確率は ノハ ヒフヘ である。

［解答を見る］ (3) ア） 1回目に白球が出て，2回目に白球が出る確率は イ） 1回目に赤球が出て，2回目に白球が出る確率は これら排反事象の和を求めると →クケ (2)のオカキにより，だから →コサシスセ 　同様にして､2回目の操作で白球を取り出す確率ををqで表すと，3回目の操作で白球が取り出される確率は →ソタチツテト 2回目の操作で取り出した球が白球であるという事象をWで表し，2回目の操作で球を取り出した袋の色が白であるという事象をUで表すと ここで，(3)のコサシスセにより (2)のオカキにより，2回目の操作が白い袋で行われる確率は だから →ナニヌネ 3回目の操作で取り出した球が白球である事象をAで表すと，(3)のソタチツテトから 3回目にはじめて白球が取り出される事象をBで表すと，P(A∩B)は，赤球→赤球→白球となる確率を表す (1)の結果から，1回目の操作で赤球が取り出される確率は だから，赤球→赤球→白球となる確率は →ノハヒフヘ →解答を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第3問(選択問題) [1]　次のア，イに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，解答の順序は問わない。 　正しい記述はアとイである。 ⓪1枚のコインを投げる試行を5回繰り返すとき，少なくとも1回は表が出る確率をpとすると，p>0.95である。 ①　袋の中に赤球と白球が合わせて8個入っている。球を1個取り出し，色を調べてから袋に戻す試行を行う。この試行を5回繰り返したところ赤球が3回出た。したがって，1回の試行で赤球が出る確率はである。 ②　箱の中に「い」と書かれたカードが1枚，「ろ」と書かれたカードが2枚，「は」と書かれたカードが2枚の合計5枚のカードが入っている。同時に2枚のカードを取り出すとき，書かれた文字が異なる確率はである。 ③　コインの面を見て「オモテ（表）」または「ウラ（裏）」とだけ発言するロボットが2体ある。ただし，どちらのロボットも出た面に対して正しく発言する確率が0.9，正しく発言しない確率が0.1であり，これら2体は互いに影響されることなく発言するものとする。いま，ある人が1枚のコインを投げる。出た面を見た2体が，ともに「オモテ」と発言したときに，実際に表が出ている確率をpとすると，p≦0.9である。

［解答を見る］ [1] ⓪5回とも裏が出る確率は これに対する余事象の確率を求めると →真 ①　1回の試行で赤球が出る確率がであっても，5回の試行で3回起こるとは限らない→偽 ②　起こり得るすべての場合の数（組合せ）は 通り 異なる2枚で出る組合せは，{い, ろ1},{い, ろ2},{い, は1},{い, は2},{ろ1, は1},{ろ1, は2},{ろ2, は1},{ろ2, は2} 通り 確率は →真 ③ コインが表である事象をAとし，2体のロボットとも「オモテ」と発言する事象をBとすると ア）　コインが表で，2体のロボットとも「オモテ」と発言する確率は イ）　コインが裏で，2体のロボットとも「オモテ」と発言する確率は だから →ｐ≦0.9は偽 以上から，正しい記述は⓪と②→アイ →解答を隠す←

[2]　1枚のコインを最大で5回投げるゲームを行う。このゲームでは，1回投げるごとに表が出たら持ち点に2点を加え，裏が出たら持ち点に−1点を加える。はじめの持ち点は0点とし，ゲーム終了のルールを次のように定める。 持ち点が再び0点になった場合は，その時点で終了する。 持ち点が再び0点にならない場合は，コインを5回投げ終わった時点で終了する。 (1)　コインを2回投げ終わって持ち点が−2点である確率は ウ エ である。また，コインを2回投げ終わって持ち点が 1点である確率は オ カ である。

［解答を見る］ [2] (1) コインを2回投げ終わって持ち点が−2点となるのは，裏→裏と出た場合だから →ウエ コインを2回投げ終わって持ち点が1点となるのは，表→裏または裏→表と出た場合だから →オカ →解答を隠す←

(2)　持ち点が再び0点になることが起こるのは，コインを キ回投げ終わったときである。コインをキ回 投げ終わって持ち点が0点となる確率は ク ケ である。 (3)　ゲームが終了した時点で持ち点が4点である確率は コ サシ である。 (4)　ゲームを終了した時点で持ち点が4点であるとき，コインを2回投げ終わって持ち点が1点である条件付き確率は ス セ である。

［解答を見る］ (2) 持ち点が0点となるのは ア） +2がちょうど1回含まれる場合 　+2→−1→−1 　−1→+2→−1 　−1→−1→+2 イ） +2が0回のときは，持ち点は0点にならない ウ） +2が2回以上のときは，持ち点は0点にならない 以上から，アの場合を見ると，3回→キ そうなる確率は →クケ (3) ゲーム終了時点で持ち点が4点となるのは，5回のうちで表(+2点)が3回，裏(−1点)が2回出る場合のうちで，次の並び方となる場合 -- 表 -- 　+2→+2→+2→−1→−1 　+2→+2→−1→+2→−1 　+2→+2→−1→−1→+2 　+2→−1→+2→−1→+2 　+2→−1→+2→+2→−1 　−1→+2→+2→+2→−1 　−1→+2→+2→−1→+2 × × × 〇 〇 〇 〇 これら，どの場合の確率もだから 合計は，→コサシ なお，「5回のうちで表(+2点)が3回，裏(−1点)が2回出る」確率 から，該当しないもの（上記のクキ）を引く場合，これらの中では の3個として数えられていることに注意（実際には3回目で終わるが，5回目まで行った確率として計算している） (4) 　(3)で示した表（ゲームが終了した時点で持ち点が4点という条件を満たすもの）の中で，コインを2回投げ終わって持ち点が1点であるのは →スセ →解答を隠す←

【2021年度共通テスト.数学Ⅰ･数学A】第3問(選択問題) 　中にくじが入ってる箱が複数あり，各箱の外見は同じであるが，当たりくじを引く確率は異なっている。くじ引きの結果から，どの箱からくじを引いた可能性が高いかを，条件付き確率を用いて考えよう。 (1)　当たりくじを引く確率がである箱Aと，当たりくじを引く確率がである箱Bの二つのの場合を考える。 (i)　各箱で，くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したとき 箱Aにおいて,3回中ちょうど1回当たる確率は ア イ ･･･① 箱Bにおいて,3回中ちょうど1回当たる確率は ウ エ ･･･② である。 (ii)　まず，AとBのどちらか一方の箱をでたらめに選ぶ。次に，その選んだ箱において，くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ，3回中ちょうど1回当たった。このとき，箱Aが選ばれる事象をA，箱Bが選ばれる事象をB，3回中ちょうど1回当たる事象をWとすると ア イ ， ウ エ である。であるから，3回中ちょうど1回当たったとき，選んだ箱がAであ る条件付き確率は オカ キク となる。また，条件付 き確率は ケコ サシ となる。

［解答を見る］ (1) (i) 反復試行の確率を用いて計算する 箱Aでは →アイ 箱Bでは →ウエ (ii) →オカキク →ケコサシ →解答を隠す←

(2)　(1)のとについて，次の事実（＊）が成り立つ。 事実（＊） とのスは，①の確率と②の確率のスに等しい。 スの解答群 ⓪ 和　① 2乗の和　② 3乗の和　③ 比　④ 積 (3)　花子さんと太郎さんは事実（＊）について話している。 花子：事実（＊）はなぜ成り立つのかな？ 太郎：とを求めるのに必要なとの計算で，①，②の確率に同じ数をかけているからだよ。 花子：なるほどね。外見が同じ三つの箱の場合は，同じ数をかけることになるので，同様のことが成り立ちそうだね。 　当たりくじを引く確率が，である箱A，である箱B，である箱Cの三つの箱の場合を考える。まず，A，B，Cのうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において，くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ，3回中ちょうど1回当たった。このとき，選 んだ箱がAである条件付き確率は セソタ チツテ となる。

［解答を見る］ (2) 　この問題を解くためには，〇0　～④の５つの可能性を検討しなければならないように見えるが，実際には次の(1)(ii)や(3)に手がかりが書かれている 　(1)(ii)により (1)①のア/イを，ウ/エをで表すと だから 　（比）が等しい：③→ス になりと等しくない→（和）はダメ （2乗），（3乗）は全然違う． （積）は だからでない限り成り立たない． →セスタチツテ →解答を隠す←

(4) 花子：どうやら箱が三つの場合でも，条件付き確率のスは各箱で3回中ちょうど1回当たりくじを引く確率のスになっているみたいだね。 太郎：そうだね。それを利用すると，条件付き確率の値は計算しなくても，その大きさを比較することができるね。 　当たりくじを引く確率が，である箱A，である箱B，である箱C，である箱Dの四つの箱の場合を考える。まず，A，B，C，Dのうちどれか一つの箱をでたらめに選ぶ。次にその選んだ箱において，くじを1本引いてはもとに戻す試行を3回繰り返したところ，3回中ちょうど1回当たった。このとき，条件付き確率を用いて，どの箱からくじを引いた可能性が高いかを考える。可能性が高い順に並べるとトとなる。 トの解答群 ⓪　A, B, C, D　　①　A, B, D, C　　②　A, C, B, D ③　A, C, D, B　　④　A, D, B, C　　⑤　B, A, C, D ⑥　B, A, D, C　　⑦　B, C, A, D　　⑧　B, C, D, A

［解答を見る］ (4) B>C>D>A>⑧→ト →解答を隠す←

【2022年度共通テスト.数学Ⅰ･数学A】第3問(選択問題) 　複数人がそれぞれプレゼントを一つずつ持ち寄り,交換会を開く。ただし,プレゼントはすべて異なるとする。プレゼントの交換は次の手順で行う。 手順 　外見が同じ袋を人数分用意し，各袋にプレゼントを一つずつ入れたうえで，各参加者に袋を一つずつでたらめに配る。各参加者は配られた袋の中のプレゼントを受け取る。 　交換の結果，1人でも自分の持参したプレゼントを受け取った場合は，交換をやり直す。そして，全員が自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったところで交換会を終了する。 (1)　2人または3人で交換会を開く場合を考える。 (i)　2人で交換会を開く場合，1回目の交換で交換会が終了するプレゼントの受け取り方はア通りある。した がって，1回目の交換で交換会が終了する確率は イ ウ である。 (ii)　3人で交換会を開く場合，1回目の交換会で交換会が終了するプレゼントの受け取り方はエ通りある。したがって，1回目の交換で交換会が終了する確率は オ カ である。 (iii)　3人で交換会を開く場合，4回以下の交換で交換会 が終了する確率は キク ケコ である。

［解答を見る］ - 表1 - 受け取る人 A B 終了? 持参者1 A B × 持参者2 B A 〇 (1) (i) 表1のように，２つの受け取り方のうちで，1回目で終了する受け取り方は，1通り→ア 確率は→イウ - 表2 - 受け取る人 A B C 終了? 持参者1 A B C × 持参者2 A C B × 持参者3 B A C × 持参者4 B C A 〇 持参者5 C A B 〇 持参者6 C B A × (ii) 表2のように，6つの受け取り方のうちで，1回目で終了する受け取り方は，2通り→エ 確率は→オカ 1回の試行で終わる確率がのとき ア） 1回で終わる確率 イ） 2回で終わる確率 ウ） 3回で終わる確率 エ） 4回で終わる確率 したがって，4回以下で終わる確率は →キクケコ →解答を隠す←

(2)　4人で交換会を開く場合，1回目の交換で交換会が終了する確率を次の構想に基づいて求めてみよう。 構想 　1回目の交換で交換会が終了しないプレゼントの受け取り方の総数を求める。そのために，自分の持参したプレゼントを受け取る人数によって場合分けをする。 　1回目の交換で，4人のうち，ちょうど1人が自分の持参したプレゼントを受け取る場合はサ通りある。ちょうど2人が自分のプレゼントを受け取る場合はシ通りある。このように考えていくと，1回目のプレゼントの受け取り方のうち，1回目の交換で交換会が終了しない受け取り方の総数はスセである。 　したがって，1回目の交換で交換会が終了する確率は ソ タ である。 (3)　5人で交換会を開く場合，1回目の交換で交換会が終了 する確率は チツ テト である。 (4)　A, B, C, D, Eの5人が交換会を開く。1回目の交換でA, B, C, Dがそれぞれ自分以外の人の持参したプレゼントを受け取ったとき，その回で交換会が終了する条件付き確率は ナニ ヌネ である。

［解答を見る］ - 表3 - 受け取る人 B C D 持参者1 C D B 持参者2 D B C (2) ア）　Aだけ自分の持参したプレゼントを受け取るとき，他の3人の受け取り方は，右の表3の２通り 　他の3人についても同様だから 1人だけ自分の持参したプレゼントを受け取るのは 2×4=8通り→サ - 表4 - 受け取る人 C D 持参者1 D C イ）　A,Bの2人だけ自分の持参したプレゼントを受け取るとき，他の2人の受け取り方は，右の表4の1通り 　他の4C2=6組についても同様だから 2人だけ自分の持参したプレゼントを受け取るのは 6×1=6通り→シ ウ）　ちょうど3人が自分の持参したプレゼントを受け取る組合せはない エ）　ちょうど4人が自分の持参したプレゼントを受け取る組合せは 1通り 　このようにして，1回目の交換で交換会が終わらない受け取り方の総数は 8+6+1=15通り→スセ 4個のプレゼントの並べ方（受け取り方）の総数は 4!=24通り 1回目で終わらない確率は 1回目で終わる確率は（余事象の確率を求めると） →ソタ →解答を隠す←

［解答を見る］ （参考） 「完全順列」または「ベルヌーイ・オイラーの封筒取り違え問題」 　1からnまでの数字を1列に並べた順列のうちで，1は1番目になく，2も2番目になく，･･･，どのkもk番目にないような順列を「完全順列」という． 　数学の歴史上では，「ベルヌーイ・オイラーの封筒取り違え問題」と言われる問題で，ある人がn個の手紙とそれに対応する宛名が書かれたn個の封筒があるときに，どの手紙も正しい封筒に入っていない入れ方の総数を言う． 　1からnまでの数字を1列に並べた順列のうちで，完全順列の総数をW(n)で表すと W(2)=1 ･･･(2, 1)のみ適す W(3)=2 ･･･(2, 3, 1), (3, 1, 2)のみ適す W(4)=9 ･･･(2,1,4,3),(2,3,4,1),(2,4,1,3),(3,1,4,2),(3,4,1,2),(3,4,2,1),(4,1,2,3),(4,3,1,2),(4,3,2,1)のみ適す W(5)=44 ･･･(2,1,4,5,3)～(5,4,2,1,3)まで 一般にn≧3のとき，漸化式 W(n)=(n−1){W(n−1)+W(n−2)} が成り立つことが証明でき，これを用いて，順次n≧5の場合も求められる． →解答を隠す←

［解答を見る］ W(2)=1←(1)(i)のア W(3)=2←(1)(ii)のエ W(4)=9←(2)のスセ 4!−15=9 (3) ア） ABCDEの5人で行うとき，Eだけ自分の持参したプレゼントを受け取るのは W(4)=9通り 5人の立場は同じだから，ABCDEの5人のうち1人だけ自分の持参したプレゼントを受け取るのは 9×5=45通り イ） ABCDEの5人のうち2人だけ自分の持参したプレゼントを受け取るのは 5C2W(3)=10×2=20通り ウ） ABCDEの5人のうち3人だけ自分の持参したプレゼントを受け取るのは 5C3W(2)=10×1=10通り エ） ABCDEの5人のうち4人だけ自分の持参したプレゼントを受け取る場合はない オ） ABCDEの5人のうち5人とも自分の持参したプレゼントを受け取るのは 1通り 以上の合計は，76通り 5人で交換会を開く場合，1回目の交換で交換会が終了する確率は →チツテト ABCDEとも自分以外の持参したプレゼントを受け取るのは 44通り ABCDが自分以外の持参したプレゼントを受け取り，Eだけが自分の持参したプレゼントを受け取るのは 9通り →ナニヌネ →解答を隠す←