♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「階乗」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです． ♫♣ ただし，学習の記録は付いていません． 【単元の目次】 《数学Ⅰ》 • 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式 【目次】 • 積の法則 • 和の法則 • 場合分けのまとめ方 • 樹形図・辞書式配列 • 階乗 • 順列 • 重複順列 • 隣り合う並べ方 • 両端指定,整数の順列 • 円順列，じゅず順列 • 組合せ • 組合せ（練習問題） • 組合せ（文章題） • 組み分け • 同じものがあるときの順列 • 順路 • 番号札のもらい方 • 重複組合せ • 重複組合せ（文章題） • 約数の個数・総和 • 二項定理・多項定理 • 順列，組合せ，確率（共通,センター問題） ■階乗 　順列や組み合わせでは、4×3×2×1のように整数を階段状に掛ける計算がしばしば登場します。これを表すために、階乗という記号を使います。 【階乗の定義】 　正の整数nから１つずつ小さい整数を1まで順に掛けた積を n!で表します。 n!=n×(n-1)×･･･×3×2×1 　「nの階乗（かいじょう）」と読みます。 　階乗は、正の整数に対して定義されていますので、(-2)! のような「負の数の階乗」や、1.5! のような「小数値の階乗」は定義されません。0!は後に順列や組合せに関連して、別途定義されます。 【階乗の例】 0! =1（←例外、重要、後に順列・組合せの項目で定義されます。） 1! =1 2!= 2×1=2 3!= 3×2×1=6 4!= 4×3×2×1=24 5!= 5×4×3×2×1=120 6!= 6×5×4×3×2×1=720 7!= 7×6×5×4×3×2×1=5040 負の数！　←なし 小数！　　←なし 分数！　　←なし 　このように階乗は、階段状に次々と掛ける計算になりますので、nが大きくなると急速に大きくなり、 100! （158桁の整数）などは筆算や普通のコンピュータソフトでは求められません。	【駅の風景で分かる階乗計算】 ５両編成の列車の前に４両編成の列車を止めると５両目が見えます 【階乗計算の例】 (3+2)! = 5! = 120 (3 - 2)! = 1! = 1 【よくある間違い】 階乗の「かっこ」は外れません （文字式の計算で慣れているような、かっこを外す公式はありません。かっこの中から計算するしかありません。） (a-b)! →× a!-b! したがって、(3-2)! の計算は × (3-2)!→3!-2!→6-2=4 ○ (3-2)! = 1! = 1 （参考）より進んだ学習のために 　大学では，階乗記号を重ねたものは別の意味が定義されています． 　3!!は(3!)!→6!=720ではなく，奇数だけを掛けたもの3!!=3×1=3を表す． 　同様にして4!!は(4!)!→24!ではなく，偶数だけを掛けたもの4!!=4×2=8を表す． 　⇒　高校ではn!!という記号はうっかり使わない方がよい．
問題次の値を求めてください． (1) 4!+6!= 採点する やり直す HELP	4!=4×3×2×1=24 6!=6×5×4×3×2×1=720 だから 4!+6!=24+720=744
(2) (2+3)!= 採点する やり直す HELP	かっこの中を先に計算します． (2+3)!=5!=5×4×3×2×1=120 階乗のかっこは単純にははずれないので，次のような間違いをしないように気をつけましょう． (2+3)!→2!+3!→2+6 ××
(3) (7−5)!= 採点する やり直す HELP	かっこの中を先に計算します． (7−5)!=2!=2×1=2 階乗のかっこは単純にははずれないので，次のような間違いをしないように気をつけましょう． (7−5)!→7!−5!→?? ××
(4) = 採点する やり直す HELP	解説の階乗計算の例にあるように，できるだけ約分して簡単にします． =7×6=42
(5) 1!0!= 採点する やり直す HELP	0!=1です．（本来，階乗記号は正の整数に対して定義されますが，0!は解説にあるように，順列・組合せの公式を煩わしい制約なしに使えるようにするための「約束事」です．） 　他方で，1!も1なので 　結局，1!0!=1×1=1になります．
(6) = 採点する やり直す HELP	解説の階乗計算の例にあるように，できるだけ約分して簡単にします．