順列
♪♥ このページは，元の教材「高校数学の基本問題」の「順列」について，サーバ・トラブル等に備えてバックアップ・ファイルとして作成したものです．
♫♣ ただし，学習の記録は付いていません．
【単元の目次】
《数学Ⅰ》
• 数と式 • 根号計算 • 場合の数.順列.組合せ • ２次不等式

==順列==

　異なる n 個のものから，異なる r 個を取ってできる順列の総数は
______nPr=n(n−1)(n−2) ··· (n−r+1)　 …(1)
______ 　 …(2)
（ただし，0≦r≦n ）

※　実際の計算は(1)でやればよい．
（簡単な例）
　３個のもの { a , b , c } から２個取って並べると，
ab ，　ac ，
ba ，　bc ，
ca ，　cb ，
の６通りの並べ方がある．
　これを，３個から２個取って並べる順列の総数として 3P2 で表わす．

［考え方］
　右図のように３つの候補者から選んで，左右２つの箱に並べるとき，
　左の箱の入れ方は { a , b , c }のどれでもよいから３通り
　その各々について，（同じものは右の箱に使えないから）右の箱の入れ方は（残りの）２通り．
　積の法則によって ２×３＝６通り
　3P2=6 になる．


例題１　次の値を求めよ．
___(1)　4P2=4·3=12________(2)　3P3=3·2·1=6

例題２　5 個の数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 から２つ使ってできる２桁の整数は何個あるか．ただし，同じ数字は使わないものとする．
________5×4=20 個
※（参考）
　教科書には余計なことはほとんど書かれていないが，理屈の上では余計なことでも，生徒が実際に行き詰まる箇所で，言われればストーンと納得することもある．
⇒　上の解説では，左の箱から先に入れているが，実は右の箱から入れてもよい．
　その場合，右の箱の入れ方が３通り，その各々について左の箱の入れ方が２通りになるから，２×３＝６通り

⇒　このように「どこから入れてもよい」ということから，「条件の難しい所を先に入れる」と便利だということが分かる．

例題３　5 個の数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 から３つ使ってできる３桁の奇数は何個あるか．ただし，同じ数字は使わないものとする．
__右図のように，１の位，百の位，十の位の順に入れると
__奇数になるには１の位の数は 1 , 3, 5 のどれかで3通り
__その各々について，百の位の入れ方は（残りの）4通り
__その各々について，十の位の入れ方は（残りの）3通り
結局，3×4×3＝36個

（ｎ個からｒ個取って来るとき）
　右図のようにｎ個の候補者から１つ取ってきて，左から１番目の箱に入れる方法は n 通り
　その各々について，左から２番目の箱に入れる方法はn−1通り
（１度使ったものはもう使えないから，ｋ番目の箱に入れることができるのは n−(k−1)=n−k+1 通り）
　積の法則により，nから順に１つずつ少ないｒ個の整数を掛けたものになるから，n(n−1)(n−2)･･･(n−r+1) 通り
　ゆえに，nPr=n(n−1)(n−2) ··· (n−r+1)

例
  • 5P3=5·4·3=60
  • 7P2=7·6=42
  • 異なる4個のものから異なる3個のものを取って並べる順列の総数は 4P3=4·3·2=24 通り
［用語］
○　　「異なる n 個のものから」　･･･　この公式の前提として n 個のものがすべて異なる場合を考えている．
当てはまる例
　a , b , c の３つのものから２つ取ってきて１列に並べる．
　例えば　ab , ac , ba , bc , ca , cb 		当てはまらない例
　a が２個，b が１個，合計３個あるものを並べる．（同じ a が２個ある）
　例えば aab , aba , baa
⇒　左の公式が使える ⇒　左の公式は使えない（同じものがあるときは別の公式になる）

○　「異なる r 個を取って」　･･･　この公式の前提として同じものを取ってきてはいけない．
当てはまる例
　a , b , c の３つのものから２つ取ってきて１列に並べる．
　例えば　ab , ac , ba , bc , ca , cb 		当てはまらない例
　a , b , c の３つのものから２つ取ってきて１列に並べる．
　例えば　aa , ab , ba , bb , bc , ca , cb , cc
⇒　左の公式が使える ⇒　左の公式は使えない（同じものを何回使ってよいときは別の公式になる）

○　「取って」　･･･　取ったものを捨てるのではなく，「取って来たものを使うとき」という意味．（日常会話では，正反対のどちらの意味にも使われるようなので注意）
　例えば，５個のもの { a , b , c , d , e } から{ a , b } の２個を取ったら，{ c , d , e } の３個になると言う意味でなく，その{ a , b } を並べると並べたものは ab , ba になる．

○　「順列」　･･･　順列が nPr なのではない．
　例えば，３個のもの { a , b , c } から２個取ってできる順列では，
ab は１つの順列，　ac は１つの順列，
ba は１つの順列，　bc は１つの順列，
ca は１つの順列，　cb は１つの順列，
その「順列の総数」が 3P2=6　通りあるということ．
　つまり，この公式は順列を求める公式ではなく，順列の総数だけを求める公式になっている．

○　nPr の読み方　･･･　決まっていない．
　P は英語で順列を表わす permutation の頭文字であるが，この記号 nPr について「正しい」読み方というものがある訳ではない．
　昔ある教科書会社が，各々の数学記号の読み方について全国の高校数学教員からアンケート調査して人気ランキング風にまとめたことがある．その程度の話だと考えるとよい．
　しかし，まったく何でもよいのではなく，よく使われる言い方のうちどれかにするとよい．
　この記号なら，「エヌ，ピー，アール」と素読みにするか，「ピーのエヌ，アール」という形で順列ということを初めにはっきりいう読み方が多いと思う．手元の数学事典（大阪書籍1979年版）では「パーミュテイション n ， r」と書かれている．
（英語では the permutation of r from n など n が最後に来る読み方も考えられる．）
［階乗記号を用いた表し方］
　上で示したように，順列を計算するとき前で使ったものは次に使えないから，
　ｎ×ｎ×ｎ×･･･　の形のかけ算にはならずに
　ｎ×(ｎ-1)×(ｎ-2)×･･･　の形のかけ算がしばしば登場する（階段状に減って行くかけ算）．
　そこで，これらを表わす階乗記号 ! が定義されている．

［階乗記号］
　正の整数 n について，次のように定義する　
n!=n(n−1)(n−2) ··· 2·1
　ただし，後で登場する様々な公式を便利に使えるように，例外的に 0! も定義しておく
0!=1
（※　負の数や小数に対して階乗は定義されない．）
（※　0! は定義（約束）なので，n! のルールから推測できるものではない．つまり，0! は 0 ではない．）
例
  • 4!=4·3·2·1=24
  • 5!=5·4·3·2·1=120
  • 6!=6·5·4·3·2·1=720
［n! の読み方］
　エヌ階乗，エヌの階乗，エヌ･ファクトリアルなど

［実際にある間違い］
　(5−2)! のような計算は，3! に直して行うことはできるが，5!−2! にはならない．（この括弧ははずせないので注意）
3!=6 であるが
5!−2!=120−2=118 （全然違う値になる）
 ○　順列の公式を階乗記号で表わすには

　階乗記号は１までの整数を全部連ねたものとして定義されている．
　右図のように「5両連結の列車」の前に「３両連結の列車」を置くと，前の２両（５と４）が見える．


　ｎから順に小さくなるｒ個の整数の積では
　後にあるｎ－ｒ個を取り除けば前にｒ個残る．また，ｎから数えてｒ番目に小さな整数はn-r+1だから
nPr=n(n−1)(n−2) ··· (n−r+1)=
例
  • 7P3==7·6·5=210

  • 5P5==5·4·3·2·1=120

※　最後の例で，分母に 0! が形式的登場するときにも結果が正しくなるようにするためには，0!=1 とすればよい．このように順列・組合せの公式を自由に使えるようにするために 0! を定義していると考えるとよい．

問題1
次の値を求めよ．
___(1)　5!___(2)　6!
___(3)　0!___(4)　
［解答を見る］
問題2
次の値を求めよ．
__(1)　6P3
__(2)　7P2
__(3)　4P4
__(4)　3P0
［解答を見る］
問題3
次の値を求めよ．
__(1)　男女４人の生徒が１列に並ぶ方法は何通りあるか．
__(2)　右図の図形を赤，青，黄，緑の４色のうち３色を使って塗り分ける方法は何通りあるか．
使える色が赤，青，黄，緑，黒の５色のときは何通りになるか．
__(3)　４個の椅子が１列に並んでいるとき，Ａ，Ｂ，Ｃ３人の人が座る方法は何通りあるか．
［解答を見る］

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